Ableitungen - Versionsgeschichte

Superuser: /* Kettenregel */

2024-11-28T18:08:36Z

Kettenregel

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2024, 20:08 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	Kommen wir zur beliebtesten aller Ableitungsregeln (wer Spuren von Ironie findet darf sie behalten!): Der Kettenregel.		Kommen wir zur beliebtesten aller Ableitungsregeln (wer Spuren von Ironie findet darf sie behalten!): Der Kettenregel.

	Die Kettenregel wird immer dann gebraucht, wenn es an die Ableitung von ineinander verschachtelten Funktionen geht:		Die Kettenregel wird immer dann gebraucht, wenn es an die '''Ableitung von ineinander verschachtelten Funktionen''' geht:

	<math>f(x) = (x^4+5)^7</math>		<math>f(x) = (x^4+5)^7</math>

	Hierbei ist die innere Funktion (hier x^4+5) unser ''u'' und die äußere Funktion (u^7) unser ''v''.		Hierbei ist die '''innere Funktion (hier x^4+5)''' unser '''''u''''' und die '''äußere Funktion (u^7)''' unser '''''v'''''.

	Die Kettenregel besagt jetzt:		Die Kettenregel besagt jetzt:

Superuser: /* Faktorregel */

2024-10-12T13:47:08Z

Faktorregel

← Nächstältere Version		Version vom 12. Oktober 2024, 15:47 Uhr
Zeile 37:		Zeile 37:
	<math>f(x)=3x^5</math>		<math>f(x)=3x^5</math>

	<math>f'(x)=35x^4 = ~~15*x~~^4</math>		<math>f'(x)=35x^4 = 15x^4</math>

	===== '''Beispiele:''' =====		===== '''Beispiele:''' =====
Zeile 46:		Zeile 46:
	Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:		Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:

	<math>f(x)=\frac{x^3}{5}=\frac{1}{5}*x^3</math>		<math>f(x)=\frac{x^3}{5}=\frac{1}{5}x^3</math>

	<math>f'(x)=\frac{1}{5}*3x^2</math>		<math>f'(x)=\frac{1}{5}*3x^2</math>

	==== '''Summenregel''' ====		==== '''Summenregel''' ====
	Durch P'''~~lus~~ oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion''' können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:		Durch '''Plus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion''' können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

	<math>f(x)=x^2-5x^3+7</math>		<math>f(x)=x^2-5x^3+7</math>

Superuser am 8. Oktober 2024 um 16:42 Uhr

2024-10-08T16:42:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. Oktober 2024, 18:42 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	<math>f(x) = \sqrt{2}</math>		<math>f(x) = \sqrt{2}</math>

	<math>f'(x)=0</math>		<math>f'(x)= 0</math>

	==== '''Potenzregel''' ====		==== '''Potenzregel''' ====

Superuser: /* Logarithmen ableiten */

2024-10-07T22:13:53Z

Logarithmen ableiten

@@ Zeile 153: / Zeile 153: @@
 ==== '''Logarithmen ableiten''' ====
 == '''Beispielaufgaben''' ==
@@ Zeile 194: / Zeile 201: @@
 <math>f(x)=e^3*e^x+\frac{1}{e^x}</math>
 == '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: /* Sonderfälle */

2024-10-07T21:39:34Z

Sonderfälle

@@ Zeile 106: / Zeile 106: @@
 Das ist die Ableitung. Mit etwas Glück muss man sie nicht weiter vereinfachen:).
-== '''Sonderfälle''' ==
+== '''Spezialfälle''' ==
 ==== '''Wurzeln ableiten''' ====
 ==== '''e-Funktionen ableiten''' ====
 ==== '''Logarithmen ableiten''' ====
 == '''Beispielaufgaben''' ==
 == '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: /* Kettenregel */

2024-10-07T20:55:27Z

Kettenregel

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2024, 22:55 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:

	==== '''Kettenregel''' ====		==== '''Kettenregel''' ====
			Kommen wir zur beliebtesten aller Ableitungsregeln (wer Spuren von Ironie findet darf sie behalten!): Der Kettenregel.

			Die Kettenregel wird immer dann gebraucht, wenn es an die Ableitung von ineinander verschachtelten Funktionen geht:

			<math>f(x) = (x^4+5)^7</math>

			Hierbei ist die innere Funktion (hier x^4+5) unser ''u'' und die äußere Funktion (u^7) unser ''v''.

			Die Kettenregel besagt jetzt:

			<math>f'(x) = u' * v'</math>

			Also bitte:

			<math>f'(x)=4x^37(x^4+5)^6</math>

	==== '''Quotientenregel''' ====		==== '''Quotientenregel''' ====

Superuser am 7. Oktober 2024 um 20:42 Uhr

2024-10-07T20:42:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2024, 22:42 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Kurze Rekapitulation der Ableitungen.		Kurze Rekapitulation der Ableitungen.

	Wichtig ist ~~zu Anfang~~ vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird.		Wichtig ist vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird (also bei f(x) x).

	== '''Ableitungsregeln''' ==		== '''Ableitungsregeln''' ==
Zeile 51:		Zeile 51:

	==== '''Summenregel''' ====		==== '''Summenregel''' ====
	Durch ~~Plus~~ oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:		Durch P'''lus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion''' können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

	<math>f(x)=x^2-5x^3+7</math>		<math>f(x)=x^2-5x^3+7</math>
Zeile 60:		Zeile 60:
	Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.		Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.

	Sie besagt, dass wenn wir 2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion haben (hier mal ''u'' und ''v'' genannt) Folgendes gilt:		Sie besagt, dass wenn wir '''2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion''' haben (hier mal ''u'' und ''v'' genannt) Folgendes gilt:

	<math>f(x)=u*v</math>		<math>f(x)=u*v</math>
Zeile 71:		Zeile 71:

	<math>f'(x) = 3x^2x^5+x^35x^4</math>		<math>f'(x) = 3x^2x^5+x^35x^4</math>

			<math>= 3x^7 + 5x^7 = 8x^7</math>

	==== '''Kettenregel''' ====		==== '''Kettenregel''' ====

	==== '''Quotientenregel''' ====		==== '''Quotientenregel''' ====
			Okay, jetzt wird's richtig lustig (nicht): Die Quotientenregel kommt bei der '''Ableitung von Brüchen''' zum Einsatz. Wie die Produktregel unterteilt auch sie die Funktion in ''u'' (Zähler und ''v'' (Nenner). Dabei gilt:

			<math>f(x)=\frac{u}{v}</math>

			<math>f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math>

			Man sieht also: '''Im Zähler steht die Produktregel aber dieses mal mit Minus''' und '''im Nenner wird der ursprüngliche Nenner quadriert''' (much worse garbage!).

			<math>f(x)= \frac{2x+3}{x^5}</math>

			<math>f'(x)=\frac{2x^5-(2x+3)5x^4}{(x^5)^2}</math>

			Das ist die Ableitung. Mit etwas Glück muss man sie nicht weiter vereinfachen:).

	== '''Sonderfälle''' ==		== '''Sonderfälle''' ==

			==== '''Wurzeln ableiten''' ====

			==== '''e-Funktionen ableiten''' ====

			==== '''Logarithmen ableiten''' ====

	== '''Beispielaufgaben''' ==		== '''Beispielaufgaben''' ==
Zeile 88:		Zeile 109:
	* Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE		* Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE
	* Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ		* Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ
			* e-Funktion ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=chf067TZ3dI&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt&index=15
			* Logarithmus ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=V2JqlPhcy_M&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt&index=18

Superuser am 7. Oktober 2024 um 20:23 Uhr

2024-10-07T20:23:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2024, 22:23 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	t.~~b.a~~.		Kurze Rekapitulation der Ableitungen.

			Wichtig ist zu Anfang vielleicht noch zu erwähnen, dass immer die Variable, die in den Klammern der Funktion steht abgeleitet wird.

			== '''Ableitungsregeln''' ==

			==== '''Konstanten''' ====
			Konstanten - also '''einfache Zahlen, hinter denen keine Variable steht''' - '''fallen beim Ableiten <u>immer</u> weg.'''

			Auch wenn sie unschön aussehen:

			<math>f(x) = \sqrt{2}</math>

			<math>f'(x)=0</math>

			==== '''Potenzregel''' ====
			Die wohl am häufigsten verwendete Ableitungsregel:

			Der Exponent einer Variable oder einer Klammer wird beim Ableiten als Ganzes (original) als Faktor (Multiplikation) vor die Variable/die Klammer gezogen und anschließend an seiner Exponentenstelle um 1 verringert.

			<math>f(x) = x^n</math>

			<math>f'(x) = n*x^{n-1}</math>

			===== '''Beispiele:''' =====
			<math>f(x) = x^{1000}</math>

			<math>f'(x)=1000*x^{999}</math>

			<math>g(x)=x^{-7}</math>

			<math>g'(x)=-7*x^{-8}</math>

			==== '''Faktorregel''' ====
			Die Faktorregel besagt, dass Faktoren (Multiplikationen direkt vor einer Variable/einer Klammer) beim Ableiten in Ruhe gelassen werden. Sie werden im Anschluss an die Ableitung bestenfalls mit dem neu hinzugekommenen Faktor (siehe oben) multipliziert:

			<math>f(x)=3x^5</math>

			<math>f'(x)=35x^4 = 15*x^4</math>

			===== '''Beispiele:''' =====
			<math>f(t)= \sqrt{2}*t^4</math>

			<math>f'(t)= \sqrt{2}4t^3</math>

			Um für Klarheit zu sorgen empfiehlt es sich, Brüche vor dem Ableiten umzuformen:

			<math>f(x)=\frac{x^3}{5}=\frac{1}{5}*x^3</math>

			<math>f'(x)=\frac{1}{5}*3x^2</math>

			==== '''Summenregel''' ====
			Durch Plus oder Minus verbundene Einzelteile einer Funktion können einzeln abgeleitet werden, ohne auf die anderen Teile Rücksicht nehmen zu müssen:

			<math>f(x)=x^2-5x^3+7</math>

			<math>f'(x)=2x-53x^2 = 2x-15x^2</math>

			==== '''Produktregel''' ====
			Kommen wir zu was weniger Schönem: Der Produktregel.

			Sie besagt, dass wenn wir 2 durch ein Malzeichen getrennte Bestandteile einer Funktion haben (hier mal ''u'' und ''v'' genannt) Folgendes gilt:

			<math>f(x)=u*v</math>

			<math>f'(x)=u'v+uv'</math>

			In der Praxis sähe das dann also in etwa so aus:

			<math>f(x)=x^3*x^5</math> -> Ja, das kann man auch als x^8 zusammenfassen, aber es geht hier um eine möglichst einfache Demonstration.

			<math>f'(x) = 3x^2x^5+x^35x^4</math>

			==== '''Kettenregel''' ====

			==== '''Quotientenregel''' ====

			== '''Sonderfälle''' ==

			== '''Beispielaufgaben''' ==

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „t.b.a. == '''Nachschlagewerke''' == * Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw * Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8 * Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8 * Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw * Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/wat…“

2024-09-28T16:08:21Z

Die Seite wurde neu angelegt: „t.b.a. == '''Nachschlagewerke''' == * Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw * Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8 * Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8 * Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw * Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/wat…“

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== '''Nachschlagewerke''' ==

* Ableitung Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
* Produkt-, Quotienten- und Kettenregel - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=47bKq2lXGs8
* Ableitung Zusammenfassung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=CV4-_lL85s8
* Ableitungsregeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GtVWdeevZpw
* Brüche ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y__6V_E8iNE
* Wurzeln ableiten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ