Beträge - Versionsgeschichte

Superuser am 19. September 2024 um 21:48 Uhr

2024-09-19T21:48:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 23:48 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Das Ganze geht auch mit Funktionen:		Das Ganze geht auch mit Funktionen:

	<u>Funktion:</u> y = \|x\|		<u>Funktion:</u> '''y = \|x\|'''

	Schaubild:		Schaubild:
	[[Datei:Betragsfunktion x.jpg\|alternativtext=Links von der y-Achse: x = negative Zahlen; Rechts von der y-Achse: x = positive Zahlen\|links\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x\|</nowiki>]]		[[Datei:Betragsfunktion x.jpg\|alternativtext=Links von der y-Achse: x = negative Zahlen; Rechts von der y-Achse: x = positive Zahlen\|links\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x\|</nowiki>]]
	Betragsfunktionen haben in ihrem Schaubild immer mindestens einen "cut" bzw. einen Scheitelpunkt, da der Betrag ja auch bei negativen Zahlen für durchweg positive Ergebnisse sorgt.		Betragsfunktionen haben '''in ihrem Schaubild immer mindestens einen "cut"''' bzw. einen Scheitelpunkt, da der Betrag ja auch bei negativen Zahlen für durchweg positive Ergebnisse sorgt.

	Da wir in dem Schaubild links den Cut bei x = 0 haben, haben wir für alle x-Werte kleiner null die Funktion y = -x und für alle x-Werte größer null die Funktion y = x.		Da wir in dem Schaubild links den Cut bei x = 0 haben, haben wir für alle x-Werte kleiner null die Funktion y = -x und für alle x-Werte größer null die Funktion y = x.
Zeile 24:		Zeile 24:
	Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:		Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:

	y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}		'''y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}'''


Zeile 32:		Zeile 32:


	<u>Anderes Beispiel:</u>
			<u>'''Anderes Beispiel:'''</u>

	Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:		Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:
	[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Auch hier gilt wieder: Wir nehmen uns den Betrag in der Funktion, setzen diesen >= 0 und lösen nach x auf:		[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Auch hier gilt wieder: '''Wir nehmen uns den Betrag in der Funktion, setzen diesen >= 0 und lösen nach x auf:'''

	x - 1 >= 0 \| +1		x - 1 >= 0 \| +1
Zeile 41:		Zeile 42:
	x >= 1 -> d. h. bei 1 ist der cut		x >= 1 -> d. h. bei 1 ist der cut

	Die umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen nicht vergessen!		Die '''umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen''' nicht vergessen!

	Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 + 2 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1) + 2 (dabei den Rest der Formel (hier + 2) nicht vergessen!)!		Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 + 2 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1) + 2 (dabei den Rest der Formel (hier + 2) nicht vergessen!)!
Zeile 47:		Zeile 48:
	Das wird mathematisch so geschrieben:		Das wird mathematisch so geschrieben:

	y = \|x-1\| { -x + 1 für x < 0 ; x - 1 für x >= 0}		'''y = \|x-1\| { -x + 1 für x < 0; x - 1 für x >= 0}'''



Zeile 57:		Zeile 59:
	2x - 18 = \|3-x\|		2x - 18 = \|3-x\|

	Zuerst gilt es hier eine Fallunterscheidung durchzuführen, um den Bereich von x zu bestimmen. Also wieder den Betrag nehmen, >= 0 setzen und auflösen:		'''Zuerst''' gilt es hier '''eine Fallunterscheidung''' durchzuführen, um den Bereich von x zu bestimmen. Also wieder '''den Betrag nehmen, >= 0 setzen und auflösen:'''

	'''Erster Fall:'''		'''Erster Fall:'''
Zeile 67:		Zeile 69:
	x <= 3 (hier an den umgekehrten Operator denken!)		x <= 3 (hier an den umgekehrten Operator denken!)

	Wir gehen jetzt also davon aus, dass der Wert x <= 3 sein wird. Wir lassen also die Betragsstriche weg und rechnen aus:		Wir gehen jetzt also davon aus, dass der '''Wert x <= 3''' sein wird. Wir lassen also die '''Betragsstriche weg und rechnen aus''':

	2x - 18 = 3 - x \| +x		2x - 18 = 3 - x \| +x
Zeile 77:		Zeile 79:
	x = 7		x = 7

	7 ist dummerweise größer als 3. Daher ist 7 kein Teil der Lösungsmenge. Nun zum 2 Fall:		7 ist dummerweise größer als 3. Daher ist '''7 kein Teil der Lösungsmenge'''. Nun zum 2 Fall:

	'''Zweiter Fall:'''		'''Zweiter Fall:'''

	Hier gehen wir davon aus, dass x > 3 gilt (auf die Operatoren achten!). Demnach müssen wir den Betrag während wir die Striche wegnehmen noch mit -1 multiplizieren. Am Ende lautet die Gleichung also:		Hier gehen wir davon aus, '''dass x > 3 gilt''' (auf die Operatoren achten!). Demnach müssen wir den Betrag während wir die '''Striche wegnehmen noch mit -1 multiplizieren'''. Am Ende lautet die Gleichung also:

	2x - 18 = -3 + x / -x		2x - 18 = -3 + x / -x
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	x = 15		x = 15

	15 ist größer 3 und demnach ein Teil der Lösungsmenge. Die Lösung der Gleichung sieht demnach so aus:		'''15 ist größer 3 und demnach ein Teil der Lösungsmenge'''. Die Lösung der Gleichung sieht demnach so aus:

			'''IL = {15}'''


	~~IL = {15}~~


Zeile 99:		Zeile 103:

	== '''Nachschlageverzeichnis''' ==		== '''Nachschlageverzeichnis''' ==

			* Betragsgleichungen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=lTTQA09M_jo
			* Betragsfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=zcsUQCdjwwY
			* Gleichungen mit Betrag lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=vWS_AChccyM
			* Betragsgleichungen mit 2 Beträgen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=hOnrz2Vhjj8

Superuser am 19. September 2024 um 21:40 Uhr

2024-09-19T21:40:28Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 23:40 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:

	y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}		y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}



Zeile 50:		Zeile 51:

	=== '''<u>Betragsgleichungen</u>''' ===		=== '''<u>Betragsgleichungen</u>''' ===
			Erhält man die Aufgabe die Lösungsmenge einer Betragsfunktion zu bestimmen kann man wie folgt vorgehen:

			<u>Beispiel:</u>

			2x - 18 = \|3-x\|

			Zuerst gilt es hier eine Fallunterscheidung durchzuführen, um den Bereich von x zu bestimmen. Also wieder den Betrag nehmen, >= 0 setzen und auflösen:

			'''Erster Fall:'''

			3 - x >= 0 \| +x

			3 >= x

			x <= 3 (hier an den umgekehrten Operator denken!)

			Wir gehen jetzt also davon aus, dass der Wert x <= 3 sein wird. Wir lassen also die Betragsstriche weg und rechnen aus:

			2x - 18 = 3 - x \| +x

			3x - 18 = 3 \| +18

			3x = 21 / :3

			x = 7

			7 ist dummerweise größer als 3. Daher ist 7 kein Teil der Lösungsmenge. Nun zum 2 Fall:

			'''Zweiter Fall:'''

			Hier gehen wir davon aus, dass x > 3 gilt (auf die Operatoren achten!). Demnach müssen wir den Betrag während wir die Striche wegnehmen noch mit -1 multiplizieren. Am Ende lautet die Gleichung also:

			2x - 18 = -3 + x / -x

			x - 18 = -3 / +18

			x = 15

			15 ist größer 3 und demnach ein Teil der Lösungsmenge. Die Lösung der Gleichung sieht demnach so aus:

			IL = {15}


			Je nachdem, wie viele Beträge in einer Gleichung zu finden sind, gilt es, mehr Fälle zu unterscheiden und mehr potentielle Teile der Lösungsmenge zu überprüfen.

			To be continued...

			== '''Nachschlageverzeichnis''' ==

Superuser am 19. September 2024 um 21:25 Uhr

2024-09-19T21:25:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 23:25 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:		Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:

	y = \|x\| { -x für x < 0; x für x >= 0}		y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}


Zeile 46:		Zeile 46:
	Das wird mathematisch so geschrieben:		Das wird mathematisch so geschrieben:

	y = \|x-1\| { -x + 1 für x < 0; x - 1 für x >= 0}		y = \|x-1\| { -x + 1 für x < 0 ; x - 1 für x >= 0}


	=== '''<u>Betragsgleichungen</u>''' ===		=== '''<u>Betragsgleichungen</u>''' ===

Superuser am 19. September 2024 um 21:25 Uhr

2024-09-19T21:25:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 23:25 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:		Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:

	y = \|x\| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}		y = \|x\| { -x für x < 0; x für x >= 0}


Zeile 30:		Zeile 30:


	<u>Anderes ~~(realistischeres)~~ Beispiel:</u>
			<u>Anderes Beispiel:</u>

	Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:		Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:
	[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]~~Um eine solche Betragsgleichung anzugehen bietet sich folgende Vorgehensweise an~~:		[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Auch hier gilt wieder: Wir nehmen uns den Betrag in der Funktion, setzen diesen >= 0 und lösen nach x auf:

	~~Man nimmt sich zuerst den Betrag in der Funktion (hier: \|~~x-1~~\|), setzt diesen~~ >= 0 ~~und löst nach x auf.~~		x - 1 >= 0 \| +1

	~~Hier sieht das so aus:~~		x >= 1 -> d. h. bei 1 ist der cut

			Die umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen nicht vergessen!

	x - 1 ~~>= 0 \|~~ +1		Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 + 2 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1) + 2 (dabei den Rest der Formel (hier + 2) nicht vergessen!)!

	~~x >= 1~~		Das wird mathematisch so geschrieben:

	~~Die umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen nicht vergessen!~~		y = \|x-1\| { -x + 1 für x < 0; x - 1 für x >= 0}

	~~Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1)!~~

	~~Das wird mathematisch so geschrieben:~~		=== '''<u>Betragsgleichungen</u>''' ===

Superuser am 19. September 2024 um 21:09 Uhr

2024-09-19T21:09:43Z

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 y = |x| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}
@@ Zeile 33: / Zeile 34: @@
 Funktion: y = |x - 1| + 2                                                                                                                                                                                                            Schaubild:
 [[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg|mini|<nowiki>Schaubild von y = |x-1| + 2</nowiki>]]Um eine solche Betragsgleichung anzugehen bietet sich folgende Vorgehensweise an:

Superuser am 19. September 2024 um 18:08 Uhr

2024-09-19T18:08:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 20:08 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	Das Ganze geht auch mit Funktionen:		Das Ganze geht auch mit Funktionen:

	Funktion: y = \|x\|		<u>Funktion:</u> y = \|x\|

	Schaubild:		Schaubild:
Zeile 28:		Zeile 28:


	Anderes (realistischeres) Beispiel:
			<u>Anderes (realistischeres) Beispiel:</u>

	Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:		Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:
	[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Um eine solche Betragsgleichung anzugehen bietet sich folgende Vorgehensweise an:		[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Um eine solche Betragsgleichung anzugehen bietet sich folgende Vorgehensweise an:

Superuser am 19. September 2024 um 17:53 Uhr

2024-09-19T17:53:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. September 2024, 19:53 Uhr
Zeile 11:		Zeile 11:
	\|-6\| = 6		\|-6\| = 6

	=== '''Betragsfunktionen''' ===		=== '''<u>Betragsfunktionen</u>''' ===
	Das Ganze geht auch mit Funktionen:		Das Ganze geht auch mit Funktionen:

Zeile 31:		Zeile 31:

	Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:		Funktion: y = \|x - 1\| + 2 Schaubild:
	[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]		[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg\|mini\|<nowiki>Schaubild von y = \|x-1\| + 2</nowiki>]]Um eine solche Betragsgleichung anzugehen bietet sich folgende Vorgehensweise an:

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „'''Betrag grundsätzlich:''' Was drinsteht ist '''immer positiv''' '''bzw.''' '''wird''' durch den Betrag '''positiv gemacht.''' '''Beispiele:''' |2| = 2 |8| = 8 |-6| = 6 === '''Betragsfunktionen''' === Das Ganze geht auch mit Funktionen: Funktion: y = |x| Schaubild: Datei:Betragsfunktion x.jpg|alternativtext=Links von der y-Achse: x = negative Zahlen; Rechts von der y-Achse: x = positive Zahlen|links|mini|Schaubild von y = |x|
2024-09-19T17:52:44Z

Die Seite wurde neu angelegt: „'''Betrag grundsätzlich:''' Was drinsteht ist '''immer positiv''' '''bzw.''' '''wird''' durch den Betrag '''positiv gemacht.''' '''<u>Beispiele:</u>''' |2| = 2 |8| = 8 |-6| = 6 === '''Betragsfunktionen''' === Das Ganze geht auch mit Funktionen: Funktion: y = |x| Schaubild: Datei:Betragsfunktion x.jpg|alternativtext=Links von der y-Achse: x = negative Zahlen; Rechts von der y-Achse: x = positive Zahlen|links|mini|<nowiki>Schaubild von y = |x|</n…“

Neue Seite
'''Betrag grundsätzlich:'''

Was drinsteht ist '''immer positiv''' '''bzw.''' '''wird''' durch den Betrag '''positiv gemacht.'''

'''<u>Beispiele:</u>'''

|2| = 2

|8| = 8

|-6| = 6

=== '''Betragsfunktionen''' ===
Das Ganze geht auch mit Funktionen:

Funktion: y = |x|

Schaubild:
[[Datei:Betragsfunktion x.jpg|alternativtext=Links von der y-Achse: x = negative Zahlen; Rechts von der y-Achse: x = positive Zahlen|links|mini|<nowiki>Schaubild von y = |x|</nowiki>]]
Betragsfunktionen haben in ihrem Schaubild immer mindestens einen "cut" bzw. einen Scheitelpunkt, da der Betrag ja auch bei negativen Zahlen für durchweg positive Ergebnisse sorgt.

Da wir in dem Schaubild links den Cut bei x = 0 haben, haben wir für alle x-Werte kleiner null die Funktion y = -x und für alle x-Werte größer null die Funktion y = x.

Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:

y = |x| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}

Anderes (realistischeres) Beispiel:

Funktion: y = |x - 1| + 2 Schaubild:
[[Datei:Betrag x-1 plus 2.jpg|mini|<nowiki>Schaubild von y = |x-1| + 2</nowiki>]]