Diversifikation im Portfolio - Versionsgeschichte

Superuser: /* Korrelationskoeffizient */

2025-07-11T21:23:16Z

Korrelationskoeffizient

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2025, 23:23 Uhr
Zeile 219:		Zeile 219:
	<math>st.abw(r_p)=\sigma_p=s_p=\sqrt{7,36%^2}=0,027=2,7129%</math>		<math>st.abw(r_p)=\sigma_p=s_p=\sqrt{7,36%^2}=0,027=2,7129%</math>

	Aber noch kurz in Wort zu dieser '''Kovarianz''': Tatsächlich gibt es einen '''einfacheren Weg sie zu berechnen''', dieser setzt allerdings voraus, dass wir '''die Standardabweichungen der Aktien kennen'''. Aber diese sind im Zweifelsfall ja schnell berechnet (siehe oben).		Aber noch kurz in Wort zu dieser '''Kovarianz''': Tatsächlich gibt es einen '''einfacheren Weg sie zu berechnen''', dieser setzt allerdings voraus, dass wir '''die <u>Standardabweichungen der Aktien</u> und den <u>Korrelationskoeffizienten</u> kennen'''. Aber diese sind im Zweifelsfall ja schnell berechnet (siehe oben).

	Die vereinfachte Formel lautet: <math>cov(r_{1,2})=~~0,5~~\sigma_1\sigma_2</math>		Die vereinfachte Formel lautet: <math>cov(r_{1,2})=\rho\sigma_1\sigma_2</math>

	==== '''Korrelationskoeffizient''' ====		==== '''Korrelationskoeffizient''' ====

Superuser: /* Portfoliovarianz und -kovarianz */

2025-07-11T14:08:17Z

Portfoliovarianz und -kovarianz

← Nächstältere Version		Version vom 11. Juli 2025, 16:08 Uhr
Zeile 218:		Zeile 218:

	<math>st.abw(r_p)=\sigma_p=s_p=\sqrt{7,36%^2}=0,027=2,7129%</math>		<math>st.abw(r_p)=\sigma_p=s_p=\sqrt{7,36%^2}=0,027=2,7129%</math>

			Aber noch kurz in Wort zu dieser '''Kovarianz''': Tatsächlich gibt es einen '''einfacheren Weg sie zu berechnen''', dieser setzt allerdings voraus, dass wir '''die Standardabweichungen der Aktien kennen'''. Aber diese sind im Zweifelsfall ja schnell berechnet (siehe oben).

			Die vereinfachte Formel lautet: <math>cov(r_{1,2})=0,5\sigma_1\sigma_2</math>

	==== '''Korrelationskoeffizient''' ====		==== '''Korrelationskoeffizient''' ====

Superuser: /* Kovarianz */

2025-07-10T21:38:08Z

Kovarianz

@@ Zeile 123: / Zeile 123: @@
 <math>E(r_p)=0,4*4%+0,6*16%=0,112=11,2%</math>
-Das ist unsere erwartete Portfoliorendite. Da wir 2 Aktien mischen wird sie immer irgendwo zwischen den beiden Renditen der Aktien liegen (außer wir verwenden solche Geschichten wie Leerverkäufe).
+Das ist unsere '''erwartete Portfoliorendite'''. '''Da wir 2 Aktien mischen wird sie immer irgendwo zwischen den beiden Renditen der Aktien liegen''' (außer wir verwenden solche Geschichten wie Leerverkäufe).
 ==== '''Portfoliogewichtung''' ====
@@ Zeile 164: / Zeile 164: @@
 Die Gewichtung von Aktie 2. Das als kurzen Einschub falls so etwas drankommen sollte.
-==== '''Portfoliovarianz''' ====
+==== '''Portfoliovarianz und -kovarianz''' ====
 Jetzt wird es wirklich haarig bzw. unübersichtlich. '''Für die Portfoliovarianz brauchen wir zuallererst die Varianzen von beiden Aktien''' - ich beziehe mich im Folgenden auf die Werte der Tabelle aus dem Abschnitt "Portfoliorendite":
 {| class="wikitable"
@@ Zeile 193: / Zeile 193: @@
 <math>var(r_2)=0,4*(20%-16%)^2+0,2*(20%-16%)^2+0,4*(10%-16%)^2=0,0024=24%^2</math>
-Die Formel für die Portfoliovarianz lautet folgendermaßen:
+Die '''Formel für die Portfoliovarianz''' lautet folgendermaßen:
-==== '''Kovarianz''' ====
+<math>var(r_p)=w_1^2*var(r_1)+w_2^2*var(r_2)+2*w_1*w_2*cov(r_{1,2})</math>
 ==== '''Korrelationskoeffizient''' ====

Superuser: /* Portfoliogewichtung */

2025-07-10T15:33:51Z

Portfoliogewichtung

@@ Zeile 126: / Zeile 126: @@
 ==== '''Portfoliogewichtung''' ====
 ==== '''Portfoliovarianz''' ====
 ==== '''Kovarianz''' ====
 ==== '''Korrelationskoeffizient''' ====

Superuser: /* Portfolio */

2025-07-10T14:59:21Z

Portfolio

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2025, 16:59 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:

	==== '''Portfoliorendite''' ====		==== '''Portfoliorendite''' ====
			Genau wie eben bei den Einzeltiteln gilt es hier die erwartete Rendite zu berechnen, dieses Mal allerdings vom gesamten Portfolio. Die Formel lautet wie folgt:

			<math>E(r_p)=w_1\mu_1+w_2\mu_2</math>

			Wobei:

			'''E(rp)''' = erwartete Rendite des Portfolios

			'''w1/w2''' = Gewichtung Aktie 1 / Aktie 2

			'''mü1/mü2''' = erwartete Rendite Aktie 1 / Aktie 2

			Ein Beispiel:

			Wir haben die folgenden Daten:
			{\| class="wikitable"
			!
			!Eintrittswahrscheinlichkeit
			!Rendite Aktie 1
			!Rendite Aktie 2
			\|-
			!Szenario 1
			\|0,4
			\| -10%
			\|20%
			\|-
			!Szenario 2
			\|0,2
			\|0%
			\|20%
			\|-
			!Szenario 3
			\|0,4
			\|20%
			\|10%
			\|}
			Berechnen wir doch erst einmal wie gehabt die einzelnen Renditen:

			<math>E(r_1)=0,4(-10%)+0,20%+0,4*20%=0,04=4%</math>

			<math>E(r_2)=0,420%+0,220%+0,4*10%=0,16=16%</math>

			Wenn wir nun davon ausgehen, dass das Portfolio zu 40% aus Aktie 1 und zu 60% aus Aktie 2 besteht ergibt das eingesetzt in unsere Formel:

			<math>E(r_p)=0,44%+0,616%=0,112=11,2%</math>

			Das ist unsere erwartete Portfoliorendite. Da wir 2 Aktien mischen wird sie immer irgendwo zwischen den beiden Renditen der Aktien liegen (außer wir verwenden solche Geschichten wie Leerverkäufe).

			==== '''Portfoliogewichtung''' ====

	==== '''Portfoliovarianz''' ====		==== '''Portfoliovarianz''' ====

Superuser: /* Standardabweichung */

2025-07-10T14:31:53Z

Standardabweichung

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2025, 16:31 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	== '''Theorie''' ==		== '''Theorie''' ==

			=== '''Einzeltitel''' ===
	Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt?		Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt?

Zeile 10:		Zeile 12:
	Wenn man schon die Eintrittswahrscheinlichkeiten auf dem Silbertablett serviert bekommt (wenn es in der Realität nur so einfach wäre...) können wir uns doch auch Gedanken über die vermutliche/erwartete Rendite aus dem Projekt machen.		Wenn man schon die Eintrittswahrscheinlichkeiten auf dem Silbertablett serviert bekommt (wenn es in der Realität nur so einfach wäre...) können wir uns doch auch Gedanken über die vermutliche/erwartete Rendite aus dem Projekt machen.

	=== '''Erwartete Rendite''' ===		==== '''Erwartete Rendite''' ====
	Nehmen wir mal an das wir bei einem Investmentprojekt die folgenden Szenarien vorliegen haben:		Nehmen wir mal an das wir bei einem Investmentprojekt die folgenden Szenarien vorliegen haben:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
Zeile 35:		Zeile 37:
	Und wie hilft uns das jetzt weiter? Nun, das '''taugt hauptsächlich zur Berechnung der Varianz'''.		Und wie hilft uns das jetzt weiter? Nun, das '''taugt hauptsächlich zur Berechnung der Varianz'''.

	=== '''Varianz''' ===		==== '''Varianz''' ====
	Anders als damals in Mathe haben wir hier keinen Mittelwert und keine Tabelle mit vielen statistischen Werten. Sei's drum, es geht auch anders.		Anders als damals in Mathe haben wir hier keinen Mittelwert und keine Tabelle mit vielen statistischen Werten. Sei's drum, es geht auch anders.

Zeile 60:		Zeile 62:
	Aber wenn es diesen quadrierten Wert gibt, '''gibt es doch auch sicher einen ohne Quadrat'''. Wir erinnern uns: Das ist die '''Standardabweichung'''.		Aber wenn es diesen quadrierten Wert gibt, '''gibt es doch auch sicher einen ohne Quadrat'''. Wir erinnern uns: Das ist die '''Standardabweichung'''.

	=== '''Standardabweichung''' ===		==== '''Standardabweichung''' ====
	Ist nichts anderes als die '''durchschnittliche Abweichung der tatsächlichen Rendite vom berechneten Erwartungswert'''. Der Begriff "Abweichung" meint damit sowohl Abweichungen nach unten als auch nach oben (sic!).		Ist nichts anderes als die '''durchschnittliche Abweichung der tatsächlichen Rendite vom berechneten Erwartungswert'''. Der Begriff "Abweichung" meint damit sowohl Abweichungen nach unten als auch nach oben (sic!).

Zeile 70:		Zeile 72:

	In diesem Fall ist die Rechnung jetzt nicht wirklich spektakulär, aber ich denke das Prinzip ist klar.		In diesem Fall ist die Rechnung jetzt nicht wirklich spektakulär, aber ich denke das Prinzip ist klar.

			=== '''Portfolio''' ===
			Soweit so gut. Was aber ist, wenn wir jetzt z.B. mehrere Aktien in einem Portfolio haben, wir in beide gleichzeitig investieren und zusätzlich zu den ganzen Kennzahlen von eben obendrein noch ausrechnen sollen zu welchen Anteilen man in die jeweiligen Aktien investieren soll und was das für das Portfolio bedeutet? Jetzt wird es etwas unangenehmer:(.

			==== '''Portfoliorendite''' ====

			==== '''Portfoliovarianz''' ====

			==== '''Kovarianz''' ====

			==== '''Korrelationskoeffizient''' ====

Superuser: /* Theorie */

2025-07-10T14:15:33Z

Theorie

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juli 2025, 16:15 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt?		Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt?

	Richtig: '''Varianz und Standardabweichung!'''		Richtig: '''Varianz und Standardabweichung!''' (also, vielleicht nicht, aber das wäre die korrekte Antwort)

			Wenn man schon die Eintrittswahrscheinlichkeiten auf dem Silbertablett serviert bekommt (wenn es in der Realität nur so einfach wäre...) können wir uns doch auch Gedanken über die vermutliche/erwartete Rendite aus dem Projekt machen.

			=== '''Erwartete Rendite''' ===
			Nehmen wir mal an das wir bei einem Investmentprojekt die folgenden Szenarien vorliegen haben:
			{\| class="wikitable"
			!
			!Rendite bei Eintritt
			!Eintrittswahrscheinlichkeit
			\|-
			!'''Szenario 1'''
			\|12%
			\|25%
			\|-
			!'''Szenario 2'''
			\|12%
			\|75%
			\|}
			Also, '''welche Rendite werden wir vermutlich erzielen''' (in diesem Fall eine reichlich dämliche Frage, ich weiß, aber spielen wir mal mit)?

			Das kann man berechnen indem man einfach '''die jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit mit der Rendite multipliziert und das alles zusammenaddiert'''.

			Also:

			<math>E(r)=0,2512%+0,7512%=0,12=12%</math> (Wer hätte das gedacht).

			Und wie hilft uns das jetzt weiter? Nun, das '''taugt hauptsächlich zur Berechnung der Varianz'''.

			=== '''Varianz''' ===
			Anders als damals in Mathe haben wir hier keinen Mittelwert und keine Tabelle mit vielen statistischen Werten. Sei's drum, es geht auch anders.

			Zum Beispiel indem wir unsere Wahrscheinlichkeiten von eben nehmen,...

			...dann '''in einer Klammer die Gesamtrendite von eben von der jeweiligen Einzelrendite abziehen'''...

			...'''das Ganze quadrieren und mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren'''...

			...und '''zum Schluss das alles wieder zusammenrechnen'''.

			Klingt kompliziert, oder?

			Machen wir das doch einfach mal:

			<math>var(r)=\sigma^2=s^2=0,25(12%-12%)^2+0,75(12%-12%)^2=0%^2=0</math>

			Oh Wunder, eine solche Rechnung ergibt hier 0. Glück gehabt, denn eine '''Varianz ist per Definition immer positiv''' (und hat diese bescheuerte %^2-Einheit)!

			Aber was sagt dieses Ding jetzt aus? Nun, '''die Varianz ist die durchschnittliche, quadrierte Abweichung der Rendite von Erwartungswert''' (Abschreiben kann ich gut:)).

			Soll heißen: '''Wie stark weicht die tatsächliche Rendite des Projekts (vermutlich) von der Rendite ab, die wir eben berechnet haben?''' Das zum Quadrat und schon haben wir die Varianz.

			Aber wenn es diesen quadrierten Wert gibt, '''gibt es doch auch sicher einen ohne Quadrat'''. Wir erinnern uns: Das ist die '''Standardabweichung'''.

			=== '''Standardabweichung''' ===
			Ist nichts anderes als die '''durchschnittliche Abweichung der tatsächlichen Rendite vom berechneten Erwartungswert'''. Der Begriff "Abweichung" meint damit sowohl Abweichungen nach unten als auch nach oben (sic!).

			Und da bei uns wie so oft die - wie ich persönlich finde sehr dogmatische - Formel "Volatilität=Risiko" gilt (Volatilität=Standardabweichung pro Jahr), bedeutet das im Umkehrschluss ja, das höhere Renditen als erwartet ein Risiko sind. Dafaq?!

			Diese Überlegungen mal beiseite, wie berechnet man die Standardabweichung? Recht einfach, '''indem man die Wurzel aus der Varianz zieht''':

			<math>st.abw(r)=\sigma=s=\sqrt{0%^2}=0%</math>

			In diesem Fall ist die Rechnung jetzt nicht wirklich spektakulär, aber ich denke das Prinzip ist klar.

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „Das zweite Thema in Kapitel 3. Wir werden hier ziemlich oft '''die hier''' brauchen. == '''Theorie''' == Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt? Richtig: '''Varianz und Standardabweichung!'''“

2025-07-09T20:27:31Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Das zweite Thema in Kapitel 3. Wir werden hier ziemlich oft '''die hier''' brauchen. == '''Theorie''' == Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt? Richtig: '''Varianz und Standardabweichung!'''“

Neue Seite

Das zweite Thema in Kapitel 3.

Wir werden hier ziemlich oft '''[[Statistische Kennzahlen|die hier]]''' brauchen.

== '''Theorie''' ==
Fangen wir an: Wenn wir '''mehrere aufgelistete Szenarien''' sehen, '''jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite''', was ist das Erste woran man denkt?

Richtig: '''Varianz und Standardabweichung!'''