Kurvendiskussion - Versionsgeschichte

Superuser: /* Monotonie */

2024-10-23T15:10:30Z

Monotonie

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2024, 17:10 Uhr
Zeile 127:		Zeile 127:
	Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).		Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).

	Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu von links nach rechts am Graphen entlang und benutzt die Extrempunkte als "Stopper".		Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu '''von links nach rechts am Graphen entlang''' und benutzt die '''Extrempunkte als "Stopper".'''

	In der Praxis teilen wir die Funktion (bzw. die x-Werte des Koordinatensystems) in mehrere Intervalle auf, deren Grenzen von den Unendlichkeiten und den x-Werten der Extrempunkte bestimmt werden.		In der Praxis '''teilen wir die Funktion ('''bzw. die x-Werte des Koordinatensystems) '''in mehrere Intervalle auf''', deren '''Grenzen von den Unendlichkeiten und den x-Werten der Extrempunkte bestimmt''' werden.

	Nehmen wir doch mal ein Beispiel:		Nehmen wir doch mal ein Beispiel:

			Wir haben die '''Funktion''' <math>y = (x+2)*(x^2+2x-15)</math>;

			ihr '''Schaubild:'''

			und ihre '''Extremstellen:'''

			'''HP (-3,7/14,8)'''

			'''TP (1/-36)'''

			Die Intervalle verteilen sich jetzt wie folgt:

	== '''Krümmung''' ==		== '''Krümmung''' ==

Superuser: /* Extrempunkte */

2024-10-23T14:41:08Z

Extrempunkte

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2024, 16:41 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:
	== '''Extrempunkte''' ==		== '''Extrempunkte''' ==

	===== '''X-Koordinaten:''' =====		===== '''X-Koordinaten''' =====
	Jetzt brauchen wir die erste und die zweite [[Ableitungen\|Ableitung]] der Funktion.		Jetzt brauchen wir die erste und die zweite [[Ableitungen\|Ableitung]] der Funktion.

Superuser: /* Extrempunkte */

2024-10-23T14:40:42Z

Extrempunkte

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2024, 16:40 Uhr
Zeile 87:		Zeile 87:

	== '''Extrempunkte''' ==		== '''Extrempunkte''' ==

			===== '''X-Koordinaten:''' =====
	Jetzt brauchen wir die erste und die zweite [[Ableitungen\|Ableitung]] der Funktion.		Jetzt brauchen wir die erste und die zweite [[Ableitungen\|Ableitung]] der Funktion.

Zeile 95:		Zeile 97:
	Ist es '''> 0''' um eine '''Tiefstelle.'''		Ist es '''> 0''' um eine '''Tiefstelle.'''

			Ist das Ergebnis des Einsetzens jedoch '''exakt = 0 kann keine Aussage''' zu den Extrempunkt-Kandidaten getroffen werden. In diesem Fall müssen wir die '''erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel untersuchen.'''

			Dabei suchen wir uns einen Punkt links und einen Punkt rechts des Kandidaten auf der x-Achse (Achtung: Auf keinen Fall andere Kandidaten nehmen oder diese überschreiten!). Diese Punkte setzen wir jeweils in die erste Ableitung ein und rechnen.

			Ist das Ergebnis des Punktes '''links''' von dem Kandidaten '''positiv''' und das des Punktes '''rechts''' von dem Kandidaten '''negativ''' handelt es sich bei dem Kandidaten um einen '''Hochpunkt.'''

			Im gegenteiligen Fall ('''links negativ, rechts positiv''') ist es ein '''Tiefpunkt.'''

			Findet '''kein Vorzeichenwechsel''' statt ist der Kandidat '''kein Extrempunkt.'''

			===== '''Y-Koordinaten''' =====
	Um daraus jetzt richtige Punkte zu machen (meint: Die passende y-Koordinate zu bestimmen) setzen wir '''diesen Wert jetzt in die ursprüngliche Funktion ein.'''		Um daraus jetzt richtige Punkte zu machen (meint: Die passende y-Koordinate zu bestimmen) setzen wir '''diesen Wert jetzt in die ursprüngliche Funktion ein.'''

Superuser: /* Definitionsmenge bestimmen */

2024-10-23T12:25:37Z

Definitionsmenge bestimmen

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2024, 14:25 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:

	Da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann muss x logischerweise mindestens 4 sein (weil <math>\sqrt{4} = 2</math>; 2 - 2 = 0). Dementsprechend lautet die Definitionsmenge:		Da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann muss x logischerweise mindestens 4 sein (weil <math>\sqrt{4} = 2</math>; 2 - 2 = 0). Dementsprechend lautet die Definitionsmenge:

			D = I<math>R^{\geq 4 }</math>

	== '''Nullstellen''' ==		== '''Nullstellen''' ==

Superuser: /* Monotonie */

2024-10-23T12:14:51Z

Monotonie

← Nächstältere Version		Version vom 23. Oktober 2024, 14:14 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	Das ist relativ einfach:		Das ist relativ einfach:

	Wenn es '''in der Funktion keine Brüche mit Variable im Nenner, keine Wurzel aus einer Variable oder andere unschöne Sachen''' gibt besteht die Definitionsmenge aus '''allen reellen Zahlen.'''		Wenn es '''in der Funktion keine Brüche mit Variable im Nenner, keine Wurzel aus einer Variable oder andere unschöne Sachen''' gibt besteht die Definitionsmenge aus '''allen reellen Zahlen:'''

	D = IR		'''D = IR'''

	Ansonsten muss man bedenken:		Ansonsten muss man bedenken:
Zeile 45:		Zeile 45:
	Also lautet die Definitionsmenge:		Also lautet die Definitionsmenge:

	D = IR \ {-3}		'''D = IR \ {-3}'''

			Wenn man einen ganzen x-Bereich auschließen möchte kann man die folgende Schreibweise verwenden:

			Beispielfunktion:

			<math>y = \sqrt{\sqrt{x}-2}</math>

			Da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann muss x logischerweise mindestens 4 sein (weil <math>\sqrt{4} = 2</math>; 2 - 2 = 0). Dementsprechend lautet die Definitionsmenge:

	== '''Nullstellen''' ==		== '''Nullstellen''' ==
	Einfach die Funktion = 0 setzen und mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel/abc-Formel, Polynomdivision/Horner-Schema o. ä. ausrechnen. Je nachdem.		Einfach die '''Funktion = 0''' '''setzen und''' mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel/abc-Formel, Polynomdivision/Horner-Schema o. ä. '''ausrechnen.''' Je nachdem.

	== '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ==		== '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ==
Zeile 104:		Zeile 112:
	Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).		Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).

	Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu von links nach rechts am Graphen entlang und benutzt die Extrempunkte als "Stopper":		Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu von links nach rechts am Graphen entlang und benutzt die Extrempunkte als "Stopper".

			In der Praxis teilen wir die Funktion (bzw. die x-Werte des Koordinatensystems) in mehrere Intervalle auf, deren Grenzen von den Unendlichkeiten und den x-Werten der Extrempunkte bestimmt werden.

			Nehmen wir doch mal ein Beispiel:

	== '''Krümmung''' ==		== '''Krümmung''' ==

Superuser: /* Symmetrie */

2024-10-17T13:27:20Z

Symmetrie

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2024, 15:27 Uhr
Zeile 56:		Zeile 56:
	Hier kommt es jetzt drauf an: Ist die Funktion...		Hier kommt es jetzt drauf an: Ist die Funktion...

	...achsensymmetrisch, d.h. ob rechts und links von der y-Achse in etwa das Gleiche passiert (siehe Parabeln),...		...'''achsensymmetrisch''', d.h. ob rechts und links von der y-Achse in etwa das Gleiche passiert (siehe Parabeln),...

	...punktsymmetrisch, d.h. ist er zum Ursprung symmetrisch,...		...'''punktsymmetrisch''', d.h. ist er zum Ursprung symmetrisch,...

	oder keins von beidem.		'''oder keins von beidem.'''

	Hier kommen die Hochzeichen der Variablen (inkl. x^0 bei Konstanten) zum Einsatz:		Hier kommen die Hochzeichen der Variablen (inkl. x^0 bei Konstanten) zum Einsatz:

	Sind <u>alle</u> Exponenten gerade, ist die Funktion achsensymmetrisch.		Sind '''<u>alle</u> Exponenten gerade''', ist die Funktion '''achsensymmetrisch'''.

	Sind <u>alle</u> Exponenten ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch.		Sind '''<u>alle</u> Exponenten ungerade''' ist die Funktion '''punktsymmetrisch'''.

	Sind die Exponenten gemischt (mal gerade, mal ungerade) ist die Funktion nicht symmetrisch.		Sind die '''Exponenten gemischt''' (mal gerade, mal ungerade) ist die Funktion '''nicht symmetrisch'''.

	Hat die Funktion lediglich eine Nullstelle ist sie ebenfalls nicht symmetrisch.		Hat die Funktion '''lediglich eine Nullstelle''' ist sie ebenfalls '''nicht symmetrisch'''.

	== '''(Asymptoten)''' ==		== '''(Asymptoten)''' ==
Zeile 81:		Zeile 81:
	Wir '''setzen die erste Ableitung = 0''' und setzen '''die Ergebnisse (=Kandidaten für Extrempunkte) in die zweite Ableitung ein:'''		Wir '''setzen die erste Ableitung = 0''' und setzen '''die Ergebnisse (=Kandidaten für Extrempunkte) in die zweite Ableitung ein:'''

	Ist das Ergebnis < 0 handelt es sich um ~~einen Hochpunkt~~.		Ist das '''Ergebnis < 0''' handelt es sich um eine '''Hochstelle.'''

	Ist es > 0 um einen ~~Tiefpunkt~~.		Ist es '''> 0''' um eine '''Tiefstelle.'''

			Um daraus jetzt richtige Punkte zu machen (meint: Die passende y-Koordinate zu bestimmen) setzen wir '''diesen Wert jetzt in die ursprüngliche Funktion ein.'''

			Das '''Ergebnis ist die y-Koordinate.'''

			Schon haben wir die Extrempunkte:)

			'''P.S.:''' Ggf. sollte man einen Bruch, wenn er als Koordinate vorkommt, '''in Dezimalschreibweise umschreiben'''. Ist deutlich einfacher zu zeichnen.

	== '''Wendepunkte''' ==		== '''Wendepunkte''' ==
	Gleiches Spiel wie bei den Extrempunkten, nur mit der 2. Ableitung gleich null und zur Kontrolle einsetzen in die 3. Ableitung.		'''Gleiches Spiel wie bei den Extrempunkten''', nur mit der '''2. Ableitung gleich null''' und zur Kontrolle '''einsetzen in die 3. Ableitung.'''

			Anschließend die Ergebnisse für die y-Koordinate in die originale Funktion einsetzen.

	== '''Graphen zeichnen''' ==		== '''Graphen zeichnen''' ==
			Mit Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten eigentlich recht simpel.

	== '''Monotonie''' ==		== '''Monotonie''' ==
			Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).

			Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu von links nach rechts am Graphen entlang und benutzt die Extrempunkte als "Stopper":

	== '''Krümmung''' ==		== '''Krümmung''' ==

Superuser: /* Definitionsmenge bestimmen */

2024-10-16T16:36:26Z

Definitionsmenge bestimmen

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2024, 18:36 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	* '''Keine 0 im Nenner eines Bruchs (durch 0 teilen ist pfui!)'''		* '''Keine 0 im Nenner eines Bruchs (durch 0 teilen ist pfui!)'''
	* '''Keine negativen Zahlen in einer Wurzel (nicht definiert)'''		* '''Keine negativen Zahlen in einer Wurzel (nicht definiert)'''
	* '''Keine negativen Zahlen in einem Logarithmus (nicht definiert)'''		* '''Keine negativen Zahlen und keine 0 in einem Logarithmus (nicht definiert)'''

	Gibt es derlei unschöne Sachen muss man das in der Definitionsmenge vermerken.		Gibt es derlei unschöne Sachen muss man das in der Definitionsmenge vermerken.

Superuser am 12. Oktober 2024 um 17:25 Uhr

2024-10-12T17:25:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 12. Oktober 2024, 19:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	t.b.a.		Eine (hoffentlich) vollständige Übersicht über die Kurvendiskussion.

			Hierbei gilt es die Eigenschaften einer Funktion (Extremstellen, Nullstellen, Wende- und Sattelstellen, Monotonie, Asymptoten, etc.) herauszufinden und die Funktion dann zumindest grob zu zeichnen.

			Wahrscheinlich wird im BWL-Studium keine vollständige Kurvendiskussion gefragt sein, aber man kann ja nie wissen.

			Das Ganze findet in '''11 oder - je nach Funktion - 12 Schritten''' statt:

			# Definitionsmenge bestimmen
			# Nullstellen
			# Schnittpunkt mit der y-Achse
			# Symmetrie
			# (Asymptoten)
			# Grenzverhalten
			# Extrempunkte
			# Wendepunkte
			# Graphen zeichnen
			# Monotonie
			# Krümmung
			# Wertemenge

			Let's get going:

			== '''Definitionsmenge bestimmen''' ==
			Das ist relativ einfach:

			Wenn es '''in der Funktion keine Brüche mit Variable im Nenner, keine Wurzel aus einer Variable oder andere unschöne Sachen''' gibt besteht die Definitionsmenge aus '''allen reellen Zahlen.'''

			D = IR

			Ansonsten muss man bedenken:

			* '''Keine 0 im Nenner eines Bruchs (durch 0 teilen ist pfui!)'''
			* '''Keine negativen Zahlen in einer Wurzel (nicht definiert)'''
			* '''Keine negativen Zahlen in einem Logarithmus (nicht definiert)'''

			Gibt es derlei unschöne Sachen muss man das in der Definitionsmenge vermerken.

			Beispiel:

			<math>f(x) = \frac{x^2+2x-5}{x+3}</math>

			Wenn x = -3 wäre käme 0 heraus.

			Also lautet die Definitionsmenge:

			D = IR \ {-3}

			== '''Nullstellen''' ==
			Einfach die Funktion = 0 setzen und mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel/abc-Formel, Polynomdivision/Horner-Schema o. ä. ausrechnen. Je nachdem.

			== '''Schnittpunkt mit der y-Achse''' ==
			Einfach in die Funktion für x null einsetzen und ausrechnen.

			== '''Symmetrie''' ==
			Hier kommt es jetzt drauf an: Ist die Funktion...

			...achsensymmetrisch, d.h. ob rechts und links von der y-Achse in etwa das Gleiche passiert (siehe Parabeln),...

			...punktsymmetrisch, d.h. ist er zum Ursprung symmetrisch,...

			oder keins von beidem.

			Hier kommen die Hochzeichen der Variablen (inkl. x^0 bei Konstanten) zum Einsatz:

			Sind <u>alle</u> Exponenten gerade, ist die Funktion achsensymmetrisch.

			Sind <u>alle</u> Exponenten ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch.

			Sind die Exponenten gemischt (mal gerade, mal ungerade) ist die Funktion nicht symmetrisch.

			Hat die Funktion lediglich eine Nullstelle ist sie ebenfalls nicht symmetrisch.

			== '''(Asymptoten)''' ==

			== '''Grenzverhalten''' ==

			== '''Extrempunkte''' ==
			Jetzt brauchen wir die erste und die zweite [[Ableitungen\|Ableitung]] der Funktion.

			Wir '''setzen die erste Ableitung = 0''' und setzen '''die Ergebnisse (=Kandidaten für Extrempunkte) in die zweite Ableitung ein:'''

			Ist das Ergebnis < 0 handelt es sich um einen Hochpunkt.

			Ist es > 0 um einen Tiefpunkt.

			== '''Wendepunkte''' ==
			Gleiches Spiel wie bei den Extrempunkten, nur mit der 2. Ableitung gleich null und zur Kontrolle einsetzen in die 3. Ableitung.

			== '''Graphen zeichnen''' ==

			== '''Monotonie''' ==

			== '''Krümmung''' ==

			== '''Wertemenge''' ==

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser am 7. Oktober 2024 um 19:42 Uhr

2024-10-07T19:42:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2024, 21:42 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	* Extremstellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40		* Extremstellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40
	* Wendestellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=gv7Z5qT2Occ		* Wendestellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=gv7Z5qT2Occ
			* Sattelpunkte - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=L77xaGpdWEU

Superuser am 7. Oktober 2024 um 19:21 Uhr

2024-10-07T19:21:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Oktober 2024, 21:21 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	* Kurvendiskussion - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt		* Kurvendiskussion - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt
			* Extremstellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40
			* Wendestellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=gv7Z5qT2Occ