Logarithmen - Versionsgeschichte

Superuser am 16. Oktober 2024 um 22:15 Uhr

2024-10-16T22:15:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Oktober 2024, 00:15 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	'''Kurze Wiederholung:'''		'''Kurze Wiederholung:'''

	<math> \log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8		<math> \log_2(8) =3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

	Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''		Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''

Superuser: /* Erste Aufgabe */

2024-09-25T22:34:22Z

Erste Aufgabe

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2024, 00:34 Uhr
Zeile 145:		Zeile 145:
	<math>x = 3</math>		<math>x = 3</math>

	'''Dritte Aufgabe'''		===== '''Dritte Aufgabe''' =====

	<math>2*4^x=32 \|/2</math>		<math>2*4^x=32 \|/2</math>

	<math>4^x = 16 \|\log_4</math>		<math>4^x = 16 \|\log_4</math>

	<math>x = log_4(16)</math>		<math>log_4(4^x) = log_4(16)</math>

			<math>x=2</math>

	===== '''Vierte Aufgabe''' =====		===== '''Vierte Aufgabe''' =====
			<math> 4*3^{2x+1} = 972 \|:4</math>

			<math>3^{2x+1} = 243 \|\log_3</math>

			<math>\log_3(3^{2x+1}) = \log_3(243)</math>

			<math>2x+1 = 5 \|-1</math>

			<math>2x = 4 \|:2</math>

			<math>x = 2</math>

	===== '''Fünfte Aufgabe''' =====		===== '''Fünfte Aufgabe''' =====

Superuser am 25. September 2024 um 22:29 Uhr

2024-09-25T22:29:13Z

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 '''Kurze Wiederholung:'''
-<math>\log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8
+<math> \log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8
 Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''
@@ Zeile 135: / Zeile 135: @@
 <math>2^x = 8</math>
-===== '''Dritte Aufgabe''' =====
+Immer, wenn x als Potenz in einer Gleichung auftaucht, ist der Logarithmus ungemein nützlich. So auch hier:
 <math>x^3*\ln(\sqrt{5+3x})-x*\ln(5+3x) = 0</math>

Superuser am 25. September 2024 um 22:11 Uhr

2024-09-25T22:11:39Z

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 # '''log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!'''
 # log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
 # ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.
@@ Zeile 77: / Zeile 78: @@
 <math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math>
 == '''Logarithmus naturalis''' ==
@@ Zeile 95: / Zeile 131: @@
 <math>=log(x*y)</math>
 == '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser am 25. September 2024 um 21:28 Uhr

2024-09-25T21:28:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2024, 23:28 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:

	In diesem Fall: '''3''' (weil 2^3=222 = 8)		In diesem Fall: '''3''' (weil 2^3=222 = 8)

			Wichtig zu merken:

			# '''log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!'''
			# log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
			# ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.

	== '''Logarithmusgesetze''' ==		== '''Logarithmusgesetze''' ==
	Wichtig bei allen Gesetzen: '''Die Basis bleibt bei der ~~Anwedung~~ der Gesetze konstant''', bzw. '''muss zur Anwendung konstant sein!'''		Wichtig bei allen Gesetzen: '''Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant''', bzw. '''muss zur Anwendung konstant sein!'''

	===== '''Erstes Gesetz''' =====		===== '''Erstes Gesetz''' =====
Zeile 19:		Zeile 25:
	<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math>		<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math>

	Geht umgekehrt ~~natülich~~ genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:		Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

	<math>\log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})</math>		<math>\log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})</math>
Zeile 41:		Zeile 47:
	<math>\log(x^a)=a*log(x)</math>		<math>\log(x^a)=a*log(x)</math>

	'''Potenzen innerhalb von Logarithmen können als ~~Multplikator~~ vor den Logarithmus gezogen werden.'''		'''Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.'''

	<math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math>		<math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math>
Zeile 54:		Zeile 60:
	<math>log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)</math>		<math>log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)</math>

	Die a-te Wurzel innerhalb eines ~~Logaritmus~~ kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.		Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.

	Wendet man jedoch die '''Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz''' an ist dieses hier eigentlich überflüssig:		Wendet man jedoch die '''Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz''' an ist dieses hier eigentlich überflüssig:
Zeile 71:		Zeile 77:

	<math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math>		<math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math>

			== '''Logarithmus naturalis''' ==
			Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen.

	== '''Beispielaufgaben''' ==		== '''Beispielaufgaben''' ==

Superuser: /* Beispielaufgaben */

2024-09-25T15:57:34Z

Beispielaufgaben

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2024, 17:57 Uhr
Zeile 75:		Zeile 75:

	===== '''Erste Aufgabe''' =====		===== '''Erste Aufgabe''' =====
	<math>2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math> -> Drittes ~~Logerithmusgesetz~~: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus		<math>2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math>

			'''Vorgehensweise: <u>Logarithmengesetze anwenden.</u>''' Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus

	<math>=log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math> -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin		<math>=log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math> -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin

Superuser: /* Viertes Gesetz */

2024-09-25T15:53:13Z

Viertes Gesetz

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2024, 17:53 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	<math>\log(x*y) = \log(x)+\log(y)</math>		<math>\log(x*y) = \log(x)+\log(y)</math>

	Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:		'''Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden.''' Beispiel:

	<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math>		<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math>
Zeile 30:		Zeile 30:
	<math>\log(\frac{x}{y}) = \log(x)-\log(y)</math>		<math>\log(\frac{x}{y}) = \log(x)-\log(y)</math>

	Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:		Das Gleiche umgekehrt: '''Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:'''

	<math>\log(\frac{5x}{3y}) = \log(5x)-\log(3y)</math>		<math>\log(\frac{5x}{3y}) = \log(5x)-\log(3y)</math>
Zeile 41:		Zeile 41:
	<math>\log(x^a)=a*log(x)</math>		<math>\log(x^a)=a*log(x)</math>

	Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multplikator vor den Logarithmus gezogen werden.		'''Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multplikator vor den Logarithmus gezogen werden.'''

	<math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math>		<math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math>
Zeile 52:		Zeile 52:

	===== '''Viertes Gesetz''' =====		===== '''Viertes Gesetz''' =====
			<math>log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)</math>

			Die a-te Wurzel innerhalb eines Logaritmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.

			Wendet man jedoch die '''Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz''' an ist dieses hier eigentlich überflüssig:

			<math>log(\sqrt[3]{z+1}) = \frac{1}{3}*log(z+1)</math>

			Aber '''gleichzeitig gilt ja auch''':

			<math>log(\sqrt[3]{z+1}) = log((z+1)^{\frac{1}{3}})</math>-> Da jetzt das '''dritte Logarithmusgesetz''' angewendet:

			<math>=\frac{1}{3}*log(z+1)</math>

			Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:

			<math>\frac{1}{10}*log_3(y^2+4) = log_3((y^2+4)^{\frac{1}{10}})</math>

			<math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math>

	== '''Beispielaufgaben''' ==		== '''Beispielaufgaben''' ==

			===== '''Erste Aufgabe''' =====
			<math>2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math> -> Drittes Logerithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus

			<math>=log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})</math> -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin

			<math>= log(\frac{x^2}{4})+ log(\frac{4y}{x})</math> -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus

			<math>= log(\frac{x^2}{4}*\frac{4y}{x})</math> -> Kürzen nicht vergessen:)

			<math>=log(x*y)</math>

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser am 25. September 2024 um 14:58 Uhr

2024-09-25T14:58:04Z

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 ===== '''Erstes Gesetz''' =====
-<math>\log(x*y) = \log(x)*\log(y)</math>
+<math>\log(x*y) = \log(x)+\log(y)</math>
 Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 Geht umgekehrt natülich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:
 ===== '''Zweites Gesetz''' =====
 ===== '''Drittes Gesetz''' =====
 ===== '''Viertes Gesetz''' =====

Superuser am 25. September 2024 um 14:02 Uhr

2024-09-25T14:02:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2024, 16:02 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	'''Kurze Wiederholung:'''		'''Kurze Wiederholung:'''

	<math>\log_2(8) = ~~...~~</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8		<math>\log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

	Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''		Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''

	In diesem Fall: '''3''' (weil 222 = 8)		In diesem Fall: '''3''' (weil 2^3=222 = 8)

	== '''Logarithmusgesetze''' ==		== '''Logarithmusgesetze''' ==

Superuser am 25. September 2024 um 14:02 Uhr

2024-09-25T14:02:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. September 2024, 16:02 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	~~TBA~~		Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.

			'''Kurze Wiederholung:'''

			<math>\log_2(8) = ...</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

			Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?'''

			In diesem Fall: '''3''' (weil 222 = 8)

			== '''Logarithmusgesetze''' ==
			Wichtig bei allen Gesetzen: '''Die Basis bleibt bei der Anwedung der Gesetze konstant''', bzw. '''muss zur Anwendung konstant sein!'''

			===== '''Erstes Gesetz''' =====
			<math>\log(xy) = \log(x)\log(y)</math>

			Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:

			<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math>

			Geht umgekehrt natülich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

			===== '''Zweites Gesetz''' =====

			===== '''Drittes Gesetz''' =====

			===== '''Viertes Gesetz''' =====

			== '''Beispielaufgaben''' ==

			== '''Nachschlagewerke''' ==