Normalverteilung - Versionsgeschichte

Superuser: /* Nachschlagewerke */

2025-01-21T15:23:53Z

Nachschlagewerke

← Nächstältere Version		Version vom 21. Januar 2025, 17:23 Uhr
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	<math>1-0,8106=0,1894=18,94%</math>		<math>1-0,8106=0,1894=18,94%</math>

	'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a und kleiner als b ist?'''		===== '''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a und kleiner als b ist?''' =====

	Jetzt gilt Folgendes:		Jetzt gilt Folgendes:

Superuser: /* Nachschlagewerke */

2025-01-21T15:23:29Z

Nachschlagewerke

← Nächstältere Version		Version vom 21. Januar 2025, 17:23 Uhr
Zeile 33:		Zeile 33:
	Machen wir aber einfach mal wieder ein Beispiel:		Machen wir aber einfach mal wieder ein Beispiel:

	===== '''Allgemeine Berechnung''' =====		==== '''Allgemeine Berechnung''' ====
	Also, was wird wie gerechnet?		Also, was wird wie gerechnet?

	'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als a ist?'''		===== '''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als a ist?''' =====
			Wenn: <math>a=51; b=62; \mu=40; \sigma=12,5</math>
	Wenn: <math>a=51; \mu=40; \sigma=12,5</math>

	Zuerst wird in der Phi-Funktion a von mu abgezogen und das Ganze durch sigma dividiert:		Zuerst wird in der Phi-Funktion a von mu abgezogen und das Ganze durch sigma dividiert:
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	<math>\phi(0,88) = 0,8106 = 81,06%</math>		<math>\phi(0,88) = 0,8106 = 81,06%</math>

	'''~~<u>~~Eine kleine Anmerkung noch:~~</u>~~'''		'''Eine kleine Anmerkung noch:'''

	Was ist, wenn '''in der Phi-Funktion ein negatives Ergebnis''' steht?		Was ist, wenn '''in der Phi-Funktion ein negatives Ergebnis''' steht?
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	Bei dem gegenteiligen Fall muss man etwas umdenken:		Bei dem gegenteiligen Fall muss man etwas umdenken:

	'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a ist?'''		===== '''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a ist?''' =====

	Jetzt muss man wissen:		Jetzt muss man wissen:

	'''Bei Aufgaben "größer als"/"mindestens"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!'''		'''<u>Bei Aufgaben "größer als"/"mindestens"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!</u>'''

	Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:		Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:

	<math>P(X>a)=\phi({\frac{a-\mu}{\sigma}}) =\phi({\frac{51-40}{12,5}}) = \phi(0,88) = 0,8106</math>		<math>P(X>a)=1-\phi({\frac{a-\mu}{\sigma}}) =1-\phi({\frac{51-40}{12,5}}) = 1-\phi(0,88) = 1-0,8106</math>

	<math>1-0,8106=0,1894=18,94%</math>		<math>1-0,8106=0,1894=18,94%</math>

			'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a und kleiner als b ist?'''

			Jetzt gilt Folgendes:

			<math>P(a<X<b)=\phi({\frac{b-\mu}{\sigma}})- \phi({\frac{a-\mu}{\sigma}}) = \phi({\frac{62-40}{12,5}})- \phi({\frac{51-40}{12,5}})</math>

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: /* Nachschlagewerke */

2024-12-23T18:56:27Z

Nachschlagewerke

← Nächstältere Version		Version vom 23. Dezember 2024, 20:56 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	Jetzt muss man wissen:		Jetzt muss man wissen:

	'''Bei Aufgaben "größer als"/"~~höchstens~~"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!'''		'''Bei Aufgaben "größer als"/"mindestens"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!'''

	Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:		Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:

Superuser: /* Nachschlagewerke */

2024-12-23T18:30:57Z

Nachschlagewerke

← Nächstältere Version		Version vom 23. Dezember 2024, 20:30 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	Jetzt muss man wissen:		Jetzt muss man wissen:

	''~~To be continued..~~.''		'''Bei Aufgaben "größer als"/"höchstens"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!'''

			Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:

			<math>P(X>a)=\phi({\frac{a-\mu}{\sigma}}) =\phi({\frac{51-40}{12,5}}) = \phi(0,88) = 0,8106</math>

			<math>1-0,8106=0,1894=18,94%</math>

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==
Zeile 77:		Zeile 83:
	* Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=_rVt6qTkea8		* Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=_rVt6qTkea8
	* Rechnen mit der Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=m0TST6n8REc		* Rechnen mit der Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=m0TST6n8REc
			* Normalverteilung - Mathago: https://www.youtube.com/watch?v=4ip_PJU9kcQ

Superuser: /* Allgemeine Berechnung */

2024-12-21T21:12:34Z

Allgemeine Berechnung

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2024, 23:12 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:

	'''Dann gilt:''' <math>\phi(-iwas) = 1-\phi(iwas)</math>		'''Dann gilt:''' <math>\phi(-iwas) = 1-\phi(iwas)</math>

			Bei dem gegenteiligen Fall muss man etwas umdenken:

			'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a ist?'''

			Jetzt muss man wissen:

			''To be continued...''

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: /* Praxis */

2024-12-21T20:46:16Z

Praxis

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2024, 22:46 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:

	<math>\phi(0,88) = 0,8106 = 81,06%</math>		<math>\phi(0,88) = 0,8106 = 81,06%</math>

			'''<u>Eine kleine Anmerkung noch:</u>'''

			Was ist, wenn '''in der Phi-Funktion ein negatives Ergebnis''' steht?

			'''Dann gilt:''' <math>\phi(-iwas) = 1-\phi(iwas)</math>

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser am 21. Dezember 2024 um 20:43 Uhr

2024-12-21T20:43:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Dezember 2024, 22:43 Uhr
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	Was ist eine Normalverteilung und wie sieht sie aus?		Was ist eine Normalverteilung und wie sieht sie aus?

			'''<u>Sinn:</u>''' Häufigkeiten von Sachen darstellen.

			== '''Allgemein''' ==
			Eine Normalverteilung sieht in den meisten Fällen in etwa so aus:
			[[Datei:Normalverteilung.jpg\|ohne\|mini\|450x450px\|Typisches Aussehen der Normalverteilung.]]
			Hierbei sind '''2 Parameter''' aus den Zufallsvariablen wichtig:

			Der '''Erwartungswert E(X)/<math>\mu</math>''' bestimmt die '''Höhe''' der Spitze der Normalverteilung - je größer E(X), desto höher der Hochpunkt.

			Die '''Varianz <math>\sigma^2</math>''' bestimmt die '''Breite''' der Verteilung - je höher Sigma, desto breiter die Kurve.

			Der gesamte '''Flächeninhalt der Normalverteilung beträgt immer 1''' (=100%).

			== '''Praxis''' ==
			Das Ganze dient zur Berechnung und Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Wenn man weiß, dass eine Datenmenge normalverteilt ist kann man unter anderem Folgendes beantworten:

			* Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der gesuchte Wert kleiner/größer als x?
			* Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt er zwischen x und y?
			* etc.

			'''Eine Anmerkung''' noch: Bei der Normalverteilung geht es immer um die Bestimmung von '''<u>Flächen</u>'''. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Wert herauskommt ist so gering, dass man sie guten Gewissens als =0 schreiben kann.

			Soll heißen:

			'''<u>Immer:</u> P(X=a) = 0'''

			Flächeninhalte werden ja normalerweise mit einem Integral berechnet. Aber das Integral einer Normalverteilung? Viel Spaß:)

			Deshalb gibt es sog. Phi-Funktionen (siehe unten) und zugehörige Wertetabellen (siehe auch unten).

			Machen wir aber einfach mal wieder ein Beispiel:

			===== '''Allgemeine Berechnung''' =====
			Also, was wird wie gerechnet?

			'''Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als a ist?'''

			Wenn: <math>a=51; \mu=40; \sigma=12,5</math>

			Zuerst wird in der Phi-Funktion a von mu abgezogen und das Ganze durch sigma dividiert:

			<math>P(X<a)=\phi({\frac{a-\mu}{\sigma}}) =\phi({\frac{51-40}{12,5}}) = \phi(0,88)</math>

			Das Ergebnis lässt sich jetzt '''mithilfe einer Wertetabelle interpretieren''':
			[[Datei:Wertetabelle Normalverteilung.jpg\|ohne\|mini\|478x478px\|Wertetabelle der Normalverteilung.]]
			Die wird jetzt wie folgt benutzt:

			Man nimmt sich das Ergebnis der Phi-Funktion (hier 0,88) und nutzt '''die Zahl vor dem Komma und die erste Zahl dahinter''' um die '''Zeile zu bestimmen.'''

			Hier also die '''Zeile 0,8'''.

			Jetzt nimmt man die '''zweite Zahl hinter dem Komma''' und '''bestimmt damit die Spalte''' - hier also '''Spalte 0,08.'''

			''Et'' Vo''ila:'' Der Wert der an der bestimmten Stelle in der Tabelle steht ist unser Ergebnis.

			<math>\phi(0,88) = 0,8106 = 81,06%</math>

			== '''Nachschlagewerke''' ==
			''(endlich gibt es sie mal wieder:D)''

			* Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=_rVt6qTkea8
			* Rechnen mit der Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=m0TST6n8REc

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „Was ist eine Normalverteilung und wie sieht sie aus?“

2024-12-21T16:29:53Z

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Was ist eine Normalverteilung und wie sieht sie aus?