Regula Falsi - Versionsgeschichte

Superuser am 25. Oktober 2024 um 10:15 Uhr

2024-10-25T10:15:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Oktober 2024, 12:15 Uhr
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	Vorweg: Mit dem Regula Falsi Verfahren werden '''Nullstellen''' (zumindest näherungsweise) '''rechnerisch bestimmt.'''		Vorweg: Mit dem Regula Falsi Verfahren werden '''Nullstellen''' (zumindest näherungsweise) '''rechnerisch bestimmt.'''

	Dabei werden '''2 anfängliche x-Stellen in eine bestimmte Formel''' (unten) '''eingesetzt''' und '''das Ergebnis daraus dann in die ursprüngliche Funktion'''.		Dabei werden '''2 anfängliche x-Stellen, zwischen denen sich irgendwo die Nullstelle befindet, in eine bestimmte Formel''' (unten) '''eingesetzt''' und '''das Ergebnis daraus dann in die ursprüngliche Funktion'''.

	Das Ergebnis hieraus gibt genauere Auskunft darüber, '''in welcher Richtung im Intervall''' (eher bei Stelle 1 oder eher bei Stelle 2) '''die Nullstelle liegt.''' So kann man das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, eingrenzen.		Das Ergebnis hieraus gibt genauere Auskunft darüber, '''in welcher Richtung im Intervall''' (eher bei Stelle 1 oder eher bei Stelle 2) '''die Nullstelle liegt.''' So kann man das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, eingrenzen.

Superuser: /* Weitere Durchläufe */

2024-10-25T10:13:55Z

Weitere Durchläufe

← Nächstältere Version		Version vom 25. Oktober 2024, 12:13 Uhr
Zeile 172:		Zeile 172:
	\|3		\|3
	\|}		\|}
	Und schon können wir ~~weiter machen~~.		Und schon können wir weitermachen.

	====== '''Weitere Durchläufe''' ======		====== '''Weitere Durchläufe''' ======
Zeile 248:		Zeile 248:

	Meistens ist aber (hoffentlich!) eine Grenze vorgegeben, zu der man sich hinarbeiten soll.		Meistens ist aber (hoffentlich!) eine Grenze vorgegeben, zu der man sich hinarbeiten soll.

	~~== '''Beispielaufgaben''' ==~~

	== '''Nachschlagewerke''' ==		== '''Nachschlagewerke''' ==

Superuser: /* Praxis */

2024-10-25T10:09:16Z

Praxis

Superuser: /* Erster Durchlauf */

2024-10-24T15:48:51Z

Erster Durchlauf

Änderungen zeigen

Superuser am 24. Oktober 2024 um 15:15 Uhr

2024-10-24T15:15:06Z

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 Eine mögliche Aufgabe zu diesem Verfahren könnte lauten:<blockquote>'''Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = x^2-2x+2</math>'''
-'''Bestimmen Sie im Intervall <math>x \epsilon [-2,0]</math> die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.'''</blockquote>Für dieses Verfahren braucht man auf jeden Fall '''2 Punkte''' - einen links und einen rechts von der vermuteten Nullstelle - nehmen wir doch einfach mal die '''Grenzen des gegebenen Intervalls.''' Der Übersicht halber nennen wir sie einfach mal '''a''' und '''b''':
+'''Bestimmen Sie im Intervall <math>x \epsilon [-2,0]</math> die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.'''</blockquote>
 <math>a_0 = -2</math>
@@ Zeile 56: / Zeile 59: @@
+|
 |2
 |-
+|0
+| -2
+| -1
+|0
+| -2
+|3
+|2
 |-
+|
+|
+|3
 |}
-In dieser Tabelle (und sonst auch) gilt:
+Hätten wir ein negatives Ergebnis aus dem Einsetzen bekommen läge die Nullstelle zwischen -1 und 0 und -1 würde nun unser neuer erster Intervallpunkt a sein.
-a_n, x_n, b_n, etc. = <math>a_n , x_n , b_n , </math> etc. - ''ich kann in der Tabelle keinen Mathe-Syntax verwenden:(''
+====== '''Erster Durchlauf''' ======
 == '''Beispielaufgaben''' ==

Superuser am 24. Oktober 2024 um 14:31 Uhr

2024-10-24T14:31:56Z

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-t.b.a.
+Was ist eigentlich das Regula Falsi Verfahren?
 == '''Nachschlagewerke''' ==
 * Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „t.b.a. == '''Nachschlagewerke''' == * Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I“

2024-09-28T15:55:29Z

Die Seite wurde neu angelegt: „t.b.a. == '''Nachschlagewerke''' == * Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I“

Neue Seite

t.b.a.

== '''Nachschlagewerke''' ==

* Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I

← Nächstältere Version		Version vom 25. Oktober 2024, 12:09 Uhr
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	===== '''Durchführung''' =====		===== '''Durchführung''' =====

	Eine mögliche Aufgabe zu diesem Verfahren könnte lauten:<blockquote>'''Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = x^2-2x+2</math>'''. '''Bestimmen Sie im Intervall <math>x \epsilon [-2,0]</math> die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.'''</blockquote>		Eine mögliche Aufgabe zu diesem Verfahren könnte lauten:<blockquote>'''Gegeben ist die Funktion <math>f(x) = x^2-2x+2</math>'''. '''Bestimmen Sie im Intervall <math>x \epsilon [-2,0]</math> die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.'''</blockquote>

Zeile 60:		Zeile 61:
	In dieser Tabelle (und sonst auch) gilt:		In dieser Tabelle (und sonst auch) gilt:

	'''n = Die Nummer des aktuellen Durchlaufs''' (ja, das werden Mehrere). Da wir hier noch mit den Anfangswerten arbeiten '''ist das hier "nullte" Durchlauf.'''		'''n = Die Nummer des aktuellen Durchlaufs''' (ja, das werden Mehrere). Da wir hier noch mit den Anfangswerten arbeiten '''ist das hier der "nullte" Durchlauf.'''

	'''a_n, x_n, b_n, etc. =''' <math>a_n , x_n , b_n , </math> etc. - ''ich kann in der Tabelle keinen Mathe-Syntax verwenden:(''		'''a_n, x_n, b_n, etc. =''' <math>a_n , x_n , b_n , </math> etc. - ''ich kann in der Tabelle keinen Mathe-Syntax verwenden:(''
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	Okay, und was bringt uns <math>x_0</math> jetzt?		Okay, und was bringt uns <math>x_0</math> jetzt?

	Wir haben jetzt einen dritten Punkt auf der y-Achse der genau in der Mitte unseres ~~Intervall~~ liegt. Jetzt stellt sich ~~doch~~ die Frage: Ist unsere gesuchte Nullstelle jetzt zwischen -2 und -1 oder zwischen -1 und 0?		Wir haben jetzt einen dritten Punkt auf der y-Achse, der genau in der Mitte unseres Intervalls liegt. Jetzt stellt sich aber die Frage: Ist unsere gesuchte Nullstelle jetzt zwischen -2 und -1 oder zwischen -1 und 0?

	~~Dazu~~ setzen wir <math>x_0</math> in die ursprüngliche Funktion ein und vergleichen das Vorzeichen mit denen der y-Werte von den ersten beiden Punkten. Hier lautet unser Ergebnis 3. Das ist ein '''positiver Wert''' ''(ach nee?)'', daher '''liegt die Nullstelle zwischen -2 und -1.'''<blockquote>''(Es muss ja für eine Nullstelle immer ein Vorzeichenwechsel stattfinden!)''</blockquote>Daher ist -1 unser '''neuer rechter Intervallpunkt''' und '''bildet im nächsten (ersten) Durchlauf b.'''		Um das herauszufinden setzen wir <math>x_0</math> in die ursprüngliche Funktion ein und vergleichen das Vorzeichen mit denen der y-Werte von den ersten beiden Punkten. Hier lautet unser Ergebnis 3. Das ist ein '''positiver Wert''' ''(ach nee?)'', daher '''liegt die Nullstelle zwischen -2 und -1.'''<blockquote>''(Es muss ja für eine Nullstelle immer ein Vorzeichenwechsel stattfinden!)''</blockquote>Daher ist -1 unser '''neuer rechter Intervallpunkt''' und '''bildet im nächsten (ersten) Durchlauf b.'''

	In der Tabelle sieht das dann so aus:		In der Tabelle sieht das dann so aus:
Zeile 130:		Zeile 131:
	\|3		\|3
	\|}		\|}
			''(Die linke Grenze a bleibt erhalten und die rechte Grenze verschiebt sich von 0 nach -1 -> Der Bereich, in dem die Nullstelle liegt, wid kleiner!)''

	Hätten wir ein negatives Ergebnis aus dem Einsetzen bekommen läge die Nullstelle zwischen -1 und 0 und -1 würde nun unser neuer erster Intervallpunkt a sein.		Hätten wir ein negatives Ergebnis aus dem Einsetzen bekommen läge die Nullstelle zwischen -1 und 0 und -1 würde nun unser neuer erster Intervallpunkt a sein.