Zahlenmengen - Versionsgeschichte

Superuser: /* Nachschlagewerke */

2024-09-19T21:41:07Z

Nachschlagewerke

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Zeile 100:		Zeile 100:
	<math>c_konjugiert = a - i * b</math>		<math>c_konjugiert = a - i * b</math>

	== ~~Nachschlagewerke~~ ==		== '''Nachschlageverzeichnis''' ==

	* Zahlenarten - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=G9lzbxHy-94		* Zahlenarten - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=G9lzbxHy-94

Superuser am 17. September 2024 um 18:42 Uhr

2024-09-17T18:42:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. September 2024, 20:42 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	'''<u>Problem:</u>'''		'''<u>Problem:</u>'''

	<math>X^2 + 1 = 0</math>		* <math>X^2 + 1 = 0</math>

	<math>X^2 + 1 = 0 \|-1</math>		<math>X^2 + 1 = 0 \|-1</math>
Zeile 99:		Zeile 99:

	<math>c_konjugiert = a - i * b</math>		<math>c_konjugiert = a - i * b</math>

			== Nachschlagewerke ==

			* Zahlenarten - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=G9lzbxHy-94
			* Studyflix: https://studyflix.de/mathematik/zahlenmengen-3260
			* Mathe-Syntax: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole
			* Komplexe Zahlen Einführung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=42tddHQj3xk
			* Komplexe Zahlen Addition und Multiplikation: https://www.youtube.com/watch?v=7QxKW98n7_U

Superuser am 16. September 2024 um 15:00 Uhr

2024-09-16T15:00:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. September 2024, 17:00 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	<math>x^2 = 1 \|\surd</math>		<math>x^2 = 1 \|\surd</math>

	<math>x = \~~surd~~-1 \|:(</math>		<math>x = \sqrt{-1} \|:(</math>

	Für negative Wurzeln gibt es bekanntlich keine Lösung ...eigentlich. Denn Herr Euler hatte hierfür eine pfiffige Idee: Er dachte sich eine imaginäre Zahl i aus und definierte Folgendes:		Für negative Wurzeln gibt es bekanntlich keine Lösung ...eigentlich. Denn Herr Euler hatte hierfür eine pfiffige Idee: Er dachte sich eine imaginäre Zahl i aus und definierte Folgendes:

	<math>\~~surd~~-1 := i</math>		<math>\sqrt{-1} := i</math>

	'''(i = Wurzel aus 1)'''		'''(i = Wurzel aus 1)'''
Zeile 76:		Zeile 76:
	'''<u>Wichtig ist:</u>'''		'''<u>Wichtig ist:</u>'''

	1.: <math>\~~surd~~-1 := i</math> - \| i = Wurzel aus -1		1.: <math>\sqrt{-1} := i</math> - \| i = Wurzel aus -1

	2.: Jede komplexe Zahl c besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil (i*)b:		2.: Jede komplexe Zahl c besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil (i*)b:

Superuser am 14. September 2024 um 19:12 Uhr

2024-09-14T19:12:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. September 2024, 21:12 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	== '''~~<u>~~Natürliche Zahlen~~</u>~~''' ==		== '''Natürliche Zahlen''' ==
	Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',		Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',
	[[Datei:Zahlenmengen.png\|mini\|Übersicht der Zahlenmengen.]]		[[Datei:Zahlenmengen.png\|mini\|Übersicht der Zahlenmengen.]]
Zeile 11:		Zeile 11:
	<math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math>		<math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math>

	== '''~~<u>~~Ganze Zahlen~~</u>~~''' ==		== '''Ganze Zahlen''' ==
	Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch hier wieder '''keine Brüche oder Kommazahlen.'''		Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch hier wieder '''keine Brüche oder Kommazahlen.'''

Zeile 18:		Zeile 18:
	<math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>		<math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>

	== '''~~<u>~~Rationale Zahlen~~</u>~~''' ==		== '''Rationale Zahlen''' ==
	Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, '''alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.'''		Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, '''alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.'''

	'''Q = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }'''		'''IQ = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }'''

	== '''~~<u>~~Irrationale Zahlen~~</u>~~''' ==		== '''Irrationale Zahlen''' ==
	Irrationale Zahlen sind '''Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen''' (also scheinbar zufälligen) '''Nachkommastellen'''.		Irrationale Zahlen sind '''Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen''' (also scheinbar zufälligen) '''Nachkommastellen'''.

	Beispiele hierfür sind '''Pi, e oder die Ergebnisse von Wurzelrechnungen aus Primzahlen.'''		Beispiele hierfür sind '''Pi, e oder die Ergebnisse von Wurzelrechnungen aus Primzahlen.'''

	'''IR = { "rationale Zahlen + e, Pi, Wurzel 2, usw." }'''		'''I = { "rationale Zahlen + e, Pi, Wurzel 2, usw." }'''

	'''<u>Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!</u>'''		'''<u>Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!</u>'''

	== '''~~<u>~~Komplexe Zahlen~~</u>~~''' ==		== '''Reelle Zahlen''' ==
			Die Reellen Zahlen sind die '''Kombination aus''' r'''ationalen und irrationalen Zahlen.'''

			IR = { "rationale Zahlen + irrationale Zahlen" }

			Dieser Zahlenraum kann alle "echten" Zahlen darstellen und ist '''Teilmenge der komplexen Zahlen'''

			== '''Komplexe Zahlen''' ==
	Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:		Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:

Zeile 49:		Zeile 56:
	<math>\surd-1 := i</math>		<math>\surd-1 := i</math>

	(i = Wurzel aus 1)		'''(i = Wurzel aus 1)'''

	Mit i kann man nun weiterrechnen, also es zum Beispiel potenzieren, die Wurzel daraus ziehen, etc..		Mit i kann man nun weiterrechnen, also es zum Beispiel potenzieren, die Wurzel daraus ziehen, etc..
Zeile 67:		Zeile 74:
	Und so weiter...		Und so weiter...

	Wichtig ist:		'''<u>Wichtig ist:</u>'''

			1.: <math>\surd-1 := i</math> - \| i = Wurzel aus -1

			2.: Jede komplexe Zahl c besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil (i*)b:

			<math>c = a + i * b</math>

			Beide Teile können aber null sein.

			3.: Man kann komplexe Zahlen grafisch darstellen.

			4.: Der Betrag von komplexen Zahlen wird wie bei Vektoren berechnet:

			<math>c = a + i * b</math>

			<math>\left\vert c \right\vert = \sqrt{a^2+b^2}</math>

			5.: Ersetzt man in der Funktion alle i durch -i hat man das komplex konjugierte:

			Komplexe Konjugation:

			<math>c = a + i * b</math>

			<math>c_konjugiert = a - i * b</math>

Superuser am 14. September 2024 um 18:19 Uhr

2024-09-14T18:19:47Z

Superuser am 14. September 2024 um 17:49 Uhr

2024-09-14T17:49:43Z

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 === '''<u>Natürliche Zahlen</u>''' ===
 Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',
+[[Datei:Zahlenmengen.png|mini|Übersicht der Zahlenmengen.]]
 '''KEINE''' negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen.
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 <math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>

Superuser: Die Seite wurde neu angelegt: „ === '''Natürliche Zahlen''' === Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''', '''KEINE''' negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen. $N = {1,2,3,4,...}$ Die Null ist standardmäßig nicht mit drin, kann es aber sein. In solchen Fällen wird das noch gekennzeichnet: $N_0 = {0,1,2,3,4,...}$ === '''Ganze Zahlen''' === Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch…“

2024-09-14T17:01:41Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ === '''Natürliche Zahlen''' === Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''', '''KEINE''' negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen. <math>N = {1,2,3,4,...}</math> Die Null ist standardmäßig nicht mit drin, kann es aber sein. In solchen Fällen wird das noch gekennzeichnet: <math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math> === '''Ganze Zahlen''' === Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch…“

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=== '''Natürliche Zahlen''' ===
Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',

'''KEINE''' negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen.

<math>N = {1,2,3,4,...}</math>

Die Null ist standardmäßig nicht mit drin, kann es aber sein. In solchen Fällen wird das noch gekennzeichnet:

<math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math>

=== '''Ganze Zahlen''' ===
Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch hier wieder '''keine Brüche oder Kommazahlen.'''

Anders als bei den natürlichen Zahlen ist hier '''die Null immer mit dabei!'''

<math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>

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	=== '''<u>Natürliche Zahlen</u>''' ===		== '''<u>Natürliche Zahlen</u>''' ==
	Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',		Natürliche Zahlen beinhalten '''alle positiven, ganzen Zahlen''',
	[[Datei:Zahlenmengen.png\|mini\|Übersicht der Zahlenmengen.]]		[[Datei:Zahlenmengen.png\|mini\|Übersicht der Zahlenmengen.]]
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	<math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math>		<math>N_0 = {0,1,2,3,4,...}</math>

	=== '''<u>Ganze Zahlen</u>''' ===		== '''<u>Ganze Zahlen</u>''' ==
	Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch hier wieder '''keine Brüche oder Kommazahlen.'''		Ganze Zahlen beinhalten alle '''positiven und negativen Zahlen''', aber auch hier wieder '''keine Brüche oder Kommazahlen.'''

Zeile 18:		Zeile 18:
	<math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>		<math>Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}</math>

	=== '''<u>Rationale Zahlen</u>''' ===		== '''<u>Rationale Zahlen</u>''' ==
	Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, '''alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.'''		Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, '''alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.'''

	'''Q = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }'''		'''Q = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }'''

	=== '''<u>Irrationale Zahlen</u>''' ===		== '''<u>Irrationale Zahlen</u>''' ==
	Irrationale Zahlen sind '''Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen''' (also scheinbar zufälligen) '''Nachkommastellen'''.		Irrationale Zahlen sind '''Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen''' (also scheinbar zufälligen) '''Nachkommastellen'''.

Zeile 32:		Zeile 32:
	'''<u>Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!</u>'''		'''<u>Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!</u>'''

	=== '''<u>Komplexe Zahlen</u>''' ===		== '''<u>Komplexe Zahlen</u>''' ==
	Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:		Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:

Zeile 64:		Zeile 64:

	<math>{1 \over i} = {i^4 \over i} = i^3 = -1</math>		<math>{1 \over i} = {i^4 \over i} = i^3 = -1</math>

			Und so weiter...

			Wichtig ist: