Wurzeln: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>x = \sqrt{16} = 4</math>
<math>x = \sqrt{16} = 4</math>


'''ABER''' <math>-4^2</math>ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, <u>2 Lösungen</u> (eben <math>x_1 = 4</math> und <math>x_2 = -4</math>).
'''ABER''' <math>-4^2</math>ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung - beziehungsweise alle Gleichungen mit gerader Hochzahl - hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, <u>2 Lösungen</u> (eben <math>x_1 = 4</math> und <math>x_2 = -4</math>).


===== '''Man darf Wurzeln "malnehmen" und dividieren''' =====
===== '''Man darf Wurzeln "malnehmen" und dividieren''' =====
<math>\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{a*b}</math>
<math>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}</math>


===== '''Man darf Wurzeln NICHT addieren oder subtrahieren''' =====
===== '''Man darf Wurzeln NICHT addieren oder subtrahieren''' =====
<math>\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}</math> '''NEIN!'''
<math>\sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}</math> '''Auch NEIN!'''


== '''Teilweises Wurzelziehen''' ==
== '''Teilweises Wurzelziehen''' ==
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<math>\sqrt{243}</math>
<math>\sqrt{243}</math>


Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 Teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?
Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?


2+4+3 = 9 -> Ja
2+4+3 = 9 -> Ja
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Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:  
Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:  


<math>5 * \sqrt{3}=\sqrt{25}*\sqrt{3} = \sqrt{75}</math>  
<math>5 * \sqrt{3}=\sqrt{25}*\sqrt{3} = \sqrt{75}</math>
 
== '''Wurzel-Nenner rationalisieren''' ==
<math>\frac{5}{\sqrt{10}}</math>
 
Aufgabe: '''Nenner rational machen.''' Vorgehensweise: '''Mit Nenner erweitern!'''
 
<math>= \frac{5}{\sqrt{10}} * \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}</math> -> Zwei Möglichkeiten, den Nenner zu berechnen: 1. <math>\sqrt{10}*\sqrt{10}=(\sqrt{10})^2=10</math> ; oder 2. <math>\sqrt{10}*\sqrt{10}=\sqrt{100}=10</math>
 
<math>=\frac{5*\sqrt{10}}{10}</math> -> Mit 5 kürzen!
 
<math>= \frac{\sqrt{10}}{2}</math>
 
== '''Verschachtelte Wurzeln auflösen''' ==
<math>\sqrt{a*\sqrt[3]{a*\sqrt[3]{a^2}}}</math>
 
Lösung: Wurzeln nacheinander in Brüche umwandeln!
 
<math>=\sqrt{a*\sqrt[3]{a*a^{\frac{2}{3}}}} = \sqrt{a*\sqrt[3]{a^{\frac{3}{3}}*a^{\frac{2}{3}}}} =\sqrt{a*\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}}}</math> -> 3. Wurzel auflösen = Potenz durch 3 teilen = mit Kehrwert (1/3) multiplizieren
 
<math>=\sqrt{a*a^{\frac{5}{3}*\frac{1}{3}}}  =\sqrt{a*a^{\frac{5}{9}}} = \sqrt{a^{\frac{9}{9}}*a^{\frac{5}{9}}} = \sqrt{a^{\frac{14}{9}}}</math>
 
<math>=a^{\frac{14}{9}*\frac{1}{2}} =a^{\frac{14}{18}} = a^{\frac{7}{9}} = \sqrt[9]{a^7}</math> -> Letzte Wurzel auflösen, Ergebnis-Bruch kürzen und wieder in Wurzelform bringen.


== '''Beispielaufgaben''' ==
== '''Beispielaufgaben''' ==
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<math>\sqrt{\frac{75}{42}}</math>
<math>\sqrt{\frac{75}{42}}</math>


<math>= \sqrt{\frac{3*25}{2*21}} = \sqrt{\frac{3*25}{2*3*7}}</math> -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist ein Quadratzahl
<math>= \sqrt{\frac{3*25}{2*21}} = \sqrt{\frac{3*25}{2*3*7}}</math> -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist eine Quadratzahl


<math>= \frac{5}{1} * \sqrt{\frac{1}{14}}</math>
<math>= \frac{5}{1} * \sqrt{\frac{1}{14}}</math>


===== '''Zweite Aufgabe''' =====
===== '''Zweite Aufgabe''' =====
<math>(3p\sqrt{x}-4x \sqrt{p})^2</math>
Zweite binomische Formel!
<math>=(3p\sqrt{x})^2-2*3p\sqrt{x}*4x\sqrt{p}+ (4x\sqrt{p})^2</math>
<math>=9p^2 x-24*p*\sqrt{x}*x*\sqrt{p}+ 16x^2p</math>
===== '''Dritte Aufgabe''' =====
<math>\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} -2</math>
Mit Zähler erweitern -> im Nenner 3 binomische Formel herstellen!
<math>=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} -2 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}*\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} -2</math>
<math>= \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)}*\frac{\sqrt{3}+1}{ (\sqrt{3}+1)} -2</math>
<math>=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}-2 = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} -2</math> -> Erste binomische Formel im Zähler!
<math>=\frac{(\sqrt{3})^2+2*\sqrt{3}*1+1^2}{2}-2 = \frac{3+2*\sqrt{3}+1}{2}-2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{2}-2</math> -> Dran denken: Man kann Brüche mit Summen auseinanderziehen!
<math>=\frac{4}{2}*\frac{2*\sqrt{3}}{2}-2 = 2*\sqrt{3}-2 = \sqrt{3}</math>


== '''Nachschlagewerke''' ==
== '''Nachschlagewerke''' ==
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* Wurzeln - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw
* Wurzeln - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw
* Teilweises Wurzelziehen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=tRqteBSL5cs
* Teilweises Wurzelziehen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=tRqteBSL5cs
* Wurzel in Wurzel auflösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=iagg-Okjjzo
* Wurzel im Nenner rationalisieren - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=GKMG6bErYfk
* Binomische Formeln mit Wurzeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=Qphp9gqYXR8
* Brüche mit Wurzeln vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=AXxiSq9SEhI
* Wurzelterme vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=bcf_m4q1ub0
* Wurzelterme vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=bcf_m4q1ub0
* Schriftliches Wurzelziehen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=RQlnMPpLQFk
* Schriftliches Wurzelziehen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=RQlnMPpLQFk

Aktuelle Version vom 25. September 2024, 16:16 Uhr

Eine Wiederholung der Wurzeln:

Wurzelgesetze

Wurzeln können nur von Zahlen größer oder gleich null gezogen werden

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.

Das Ergebnis von Wurzeln ist immer größer oder gleich null
ACHTUNG bei quadratischen Gleichungen

Ein Beispiel:

ABER ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung - beziehungsweise alle Gleichungen mit gerader Hochzahl - hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, 2 Lösungen (eben und ).

Man darf Wurzeln "malnehmen" und dividieren

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}

Man darf Wurzeln NICHT addieren oder subtrahieren

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}} NEIN!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b}\neq\sqrt{a-b}} Auch NEIN!

Teilweises Wurzelziehen

Bezeichnet das "Zerlegen" von Zahlen innerhalb von Wurzeln, um die Wurzel (teilweise) lösen zu können:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9*2} = \sqrt{9} * \sqrt{2} = 3 * \sqrt{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{500}=\sqrt{5*100}=10*\sqrt{5}}

Das Ganze mit Brüchen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{2*4}{9} }} -> Das Ziel ist im Zähler und im Nenner jeweils eine Quadratzahl zu haben (hier 4 und 9). Jetzt können wir aus denen die Wurzel ziehen und sie nach außen schreiben (bitte an die richtige Stelle im Bruch!). Da wir aus der 4 und der 9 schon die Wurzeln gezogen haben, werden diese jeweils durch 1 ersetzt, d.h. hier bleibt nur 2 in der Wurzel übrig:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{2}{3} * \sqrt{2}}

Wie wärs mal mit einer schwierigeren Zahl?:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{243}}

Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?

2+4+3 = 9 -> Ja

Also: 243:3 = 240:3 + 3:3 = 80 +1 = 81

--> = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{3*81}}

81 ist passenderweise eine Quadratzahl, wir können also die Wurzel ziehen und sie "ausklammern":

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =9*\sqrt{3}}

Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 * \sqrt{3}=\sqrt{25}*\sqrt{3} = \sqrt{75}}

Wurzel-Nenner rationalisieren

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5}{\sqrt{10}}}

Aufgabe: Nenner rational machen. Vorgehensweise: Mit Nenner erweitern!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{5}{\sqrt{10}} * \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}} -> Zwei Möglichkeiten, den Nenner zu berechnen: 1. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{10}*\sqrt{10}=(\sqrt{10})^2=10}  ; oder 2. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{10}*\sqrt{10}=\sqrt{100}=10}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{5*\sqrt{10}}{10}} -> Mit 5 kürzen!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{2}}

Verschachtelte Wurzeln auflösen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{a*\sqrt[3]{a*\sqrt[3]{a^2}}}}

Lösung: Wurzeln nacheinander in Brüche umwandeln!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\sqrt{a*\sqrt[3]{a*a^{\frac{2}{3}}}} = \sqrt{a*\sqrt[3]{a^{\frac{3}{3}}*a^{\frac{2}{3}}}} =\sqrt{a*\sqrt[3]{a^{\frac{5}{3}}}}} -> 3. Wurzel auflösen = Potenz durch 3 teilen = mit Kehrwert (1/3) multiplizieren

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\sqrt{a*a^{\frac{5}{3}*\frac{1}{3}}} =\sqrt{a*a^{\frac{5}{9}}} = \sqrt{a^{\frac{9}{9}}*a^{\frac{5}{9}}} = \sqrt{a^{\frac{14}{9}}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =a^{\frac{14}{9}*\frac{1}{2}} =a^{\frac{14}{18}} = a^{\frac{7}{9}} = \sqrt[9]{a^7}} -> Letzte Wurzel auflösen, Ergebnis-Bruch kürzen und wieder in Wurzelform bringen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac{75}{42}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{\frac{3*25}{2*21}} = \sqrt{\frac{3*25}{2*3*7}}} -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist eine Quadratzahl

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{5}{1} * \sqrt{\frac{1}{14}}}

Zweite Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3p\sqrt{x}-4x \sqrt{p})^2}

Zweite binomische Formel!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =(3p\sqrt{x})^2-2*3p\sqrt{x}*4x\sqrt{p}+ (4x\sqrt{p})^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =9p^2 x-24*p*\sqrt{x}*x*\sqrt{p}+ 16x^2p}

Dritte Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} -2}

Mit Zähler erweitern -> im Nenner 3 binomische Formel herstellen!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} -2 = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}*\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} -2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)}*\frac{\sqrt{3}+1}{ (\sqrt{3}+1)} -2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}-2 = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} -2} -> Erste binomische Formel im Zähler!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{(\sqrt{3})^2+2*\sqrt{3}*1+1^2}{2}-2 = \frac{3+2*\sqrt{3}+1}{2}-2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{2}-2} -> Dran denken: Man kann Brüche mit Summen auseinanderziehen!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{4}{2}*\frac{2*\sqrt{3}}{2}-2 = 2*\sqrt{3}-2 = \sqrt{3}}

Nachschlagewerke

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