Fakultät

Was waren nochmal Fakultäten?

Die Kurzfassung:

Eine Fakultät wird als Ausrufezeichen hinter die entsprechende Zahl geschrieben (z. B. 2!, 5!, 100!, n!, etc.) und bedeutet, dass diese Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen bis hinunter zur 1 multipliziert wird.

Also:

2! = 2*1

6! = 6*5*4*3*2*1

50! = 50*49*48*47*46*...*2*1

-1! = Pfui!

Es gibt keine Fakultäten von negativen Zahlen (zw. die sind nicht definiert)!

Merken!

Wichtige Gesetze dazu:

1! = 1

0! = 1

Rechenregeln

Fakultäten vergrößern und verkleinern

Da wir wissen, dass eine Fakultät eine Serie aus Multiplikationen von aufeinander folgenden ist, können wir damit ein bisschen spielen:

Wir erinnern uns:

5! = 5*4*3*2*1

Also ist:

6*5! = 6!

Andersherum funktioniert das aber auch:

55! = 55*54*53*...*2*1 = 55*54! = 55*54*53! = ...

.

Fakultäten "kürzen"

Da bspw. gilt das 6! = 6*5! kann man Fakultäten auch gegeneinander "kürzen":

${\frac {6!}{5!}}={\frac {6*5*4*3*2*1}{5*4*3*2*1}}=6$

Hier gilt:

${\frac {(Zahl+1)!}{Zahl!}}=(Zahl+1)$

Das Ganze ist einfacher, wenn man sich vor Augen führt, dass Fakultäten "nur" eine Reihe von Produkten sind.

Und insbesondere bei Brüchen nicht vergessen: Aus Summen kürzen nur die Dummen!

.

Von Fakultäten und Variablen

Wagen wir mal etwas Interessanteres:

${\frac {(n+1)!}{n!}}$

Okaaaaaay, keine Panik! Zuerst sollten wir mal klären, was (n+1)! überhaupt bedeutet.

Wie üblich ist auch diese Fakultät eine Abfolge von Multiplikationen. Da wir nicht wissen, was n genau ist müssen wir uns mit der Zahl dahinter begnügen:

(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*1 -> Wir nehmen also den Ausgangswert und ziehen dann von n immer weiter 1 ab

Theoretisch ist diese Fakultät also unendlich lang und damit nicht eindeutig zu berechnen. Das muss man allerdings auch gar nicht.

Um nochmal auf die Aufgabe oben zurückzukommen: Bei Fakultäten ist ja ausklammern die Devise und zwar bei der jeweils größten Fakultät. Hier also die im Zähler:

(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*1 = (n+1) * n!

Daraus folgt:

$={\frac {(n+1)*n!}{n!}}=n+1$

.

Was man NICHT tun darf

Da Fakultäten ganze Zahlenabfolgen sind kann man mit ihnen natürlich nicht einfach so rechnen:

$6+5!\neq 30!$

.

Sind Klammern im Spiel ist Vorsicht angesagt: Es kommt darauf an, wo das Fakultätszeichen steht!

${\frac {(2+6)!}{6!}}\neq 2!$

.

Auch die direkte Addition oder Subtraktion von Fakultäten ist ne blöde Idee:

$4!+5!\neq 9!$

$7!-2!\neq 5!$

In solchen Fällen (wenn man nichts mehr ausklammern oder kürzen kann) ist es effektiver die Fakultät auszurechnen und dann die Berechnung durchzuführen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

${\frac {(n+2)!*n}{(n+1)!}}$

Also das Übliche: Erstmal aus der größten Fakultät etwas ausklammern:

$={\frac {(n+2)*(n+1)!*n}{(n+1)!}}$

Jetzt kann man schon die (n+1)! gegeneinander kürzen:

$=(n+2)*n$ -> Und weil wir so fleißig sind multiplizieren wir das noch aus:

$=n^{2}+2n$

Zweite Aufgabe

${\frac {43!}{41!+42!}}$

Man könnte jetzt die Fakultäten ausrechnen. Aber warum uns mit absurd großen Zahlen herumschlagen, wenn wir es auch einfacher haben können:

$={\frac {43*42*41!}{41!+42!}}$

Leider verhindert das "+" im Nenner jetzt, das wir kürzen können. Aber wenn man schon nicht kürzen kann, dann doch zumindest ausklammern:

$={\frac {43*42*41!}{1*41!+42*41!}}$

$={\frac {43*42*41!}{41!*(1+42)}}$

$={\frac {43*42*41!}{41!*43}}$

Jetzt können wir kürzen:D

$=42$

Und damit haben wir sowohl die Lösung als auch die ganze Wahrheit und die Antwort auf alles gefunden:).

Nachschlagewerke

• Fakultäten - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=hLfQ-ou4vEw
• Fakultät kürzen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=ckQzJpZG7So
• Fakultät berechnen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=nooo-DS33h8