Binomische Formeln

Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).

Übersicht Formeln

Erste binomische Formel: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Zweite binomische Formel: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Dritte binomische Formel: $(a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Einfache Beispiele

Erste binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):

$(3x+4)^{2}$ Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.

Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: $ax^{2}+bx+c$

Lösen wir das Ganze also:

$(3x+4)^{2}=(3x)^{2}+2*3x*4+4^{2}$

$=9x^{2}+6x*4+16$

$=9x^{2}+24x+16$

Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.

Zweites Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{4}}y)^{2}$ -> Vermutetes Aussehen: $ax^{2}+bxy+cy^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{4}}y)^{2}=({\frac {1}{2}}x)^{2}+2*{\frac {1}{2}}x*{\frac {3}{4}}y+({\frac {3}{4}}y)^{2}$ --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> 1 x * 3/4 y

$=({\frac {1}{2}})^{2}*x^{2}+{\frac {3}{4}}xy+({\frac {3}{4}})^{2}*y^{2}$ --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!

$={\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {3}{4}}xy+{\frac {9}{16}}y^{2}$

Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)

Zweite binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{4}}a-{\frac {1}{6}}b)^{2}$ -> Vermutetes Aussehen: $xa^{2}-yab+zb^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{4}}a-{\frac {1}{6}}b)^{2}=({\frac {1}{4}}a)^{2}-2*{\frac {1}{4}}a*{\frac {1}{6}}b+({\frac {1}{6}}b)^{2}$ --> In der Mitte kann die 2 mit der 4 aus 1/4 gekürzt werden! --> 1 * 1/2 a * 1/6 b

$=({\frac {1}{4}})^{2}*a^{2}-{\frac {1}{2}}a*{\frac {1}{6}}b+({\frac {1}{6}})^{2}*b^{2}$ --> Bruchrechenregeln...

$={\frac {1}{16}}a^{2}-{\frac {1}{12}}xy+{\frac {1}{36}}b^{2}$

Dritte binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist $({\frac {1}{2}}s-{\frac {3}{4}}t)*({\frac {1}{2}}s+{\frac {4}{4}}t)$ -> Vermutetes Aussehen: $as^{2}-bt^{2}$

Auflösung:

$({\frac {1}{2}}s-{\frac {3}{4}}t)*({\frac {1}{2}}s+{\frac {4}{4}}t)$

$=({\frac {1}{2}}s)^{2}-({\frac {3}{4}}t)^{2}$

$=({\frac {1}{2}})^{2}s-({\frac {3}{4}})^{2}t$

$={\frac {1}{4}}s^{2}-{\frac {9}{16}}t^{2}$

Binomische Formeln mit negativen Zahlen

Gegeben ist $(-3x-2)^{2}$ -> Zweite binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: ax^2 - bx + c

Auflösung:

Erste Vorgehensweise:

$(-3x-2)^{2}=(-3x)^{2}+2*(-3x)*2+2^{2}$

$=9x^{2}-(-6)x*2+4$ --> Vorzeichen beachten! --> Minus mal Minus = Plus!

$=9x^{2}+12x+4$

Zweite Vorgehensweise:

Erster Schritt, um das Minus vor dem 3x wegzubekommen: (-1) ausklammern! (können wir hier machen weil wir sowohl -3x als auch -2 haben) (Potenz nicht vergessen!)

$(-3x-2)^{2}=((-1)*(3x+2))^{2}$

$=1*(3x+2)^{2}$

Der Rest funktioniert nach dem bewährten Verfahren, nur ab jetzt mit der ersten binomischen Formel (das Minus in der Mitte haben wir ja ausgeklammert:) ) .

Binomische Formeln mit Wurzeln

Erstes Beispiel:

Gegeben ist $(3p*{\sqrt {x}}-4x*{\sqrt {p}})^{2}$ -> Zweite binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: ap^2x^2 - bpx + cx^2p^2

$(3p*{\sqrt {x}}-4x*{\sqrt {p}})^{2}=(3p*{\sqrt {x}})^{2}-2*3p{\sqrt {x}}*4x{\sqrt {p}}+(4x*{\sqrt {p}})^{2}$

$=9p^{2}x-24*p*x*{\sqrt {x}}*{\sqrt {p}}+16x^{2}p$

Die 2er-Potenz neutralisiert die Wurzeln!

Zweites Beispiel:

Gegeben ist $(2{\sqrt {x}}-5x{\sqrt {y}})*(2{\sqrt {x}}+5x{\sqrt {y}})$ -> Dritte binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: $as^{2}-bt^{2}$

$(2{\sqrt {x}}-5x{\sqrt {y}})*(2{\sqrt {x}}+5x{\sqrt {y}})=(2{\sqrt {x}})^{2}-(5x{\sqrt {y}})^{2}$

$=4x-25x^{2}y$

Terme vereinfachen

Schalten wir mal einen Gang hoch und wagen uns an eine komplexere Aufgabe:

Gegeben ist $({\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}+{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}})^{2}$ -> Erste binomische Formel -> Keine Variablen, also: a^2 + 2ab + b^2

$({\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}+{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}})^{2}={\sqrt {2}}-1+2*{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}*{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}+{\sqrt {2}}+1$ --> Zusammenfassung von a^2 und b^2 --> Durch das ^2 verschwinden die übergeordneten Wurzeln, die +1 und -1 neutralisiert sich gegenseitig und die Wurzeln kann man als *2 zusammenfassen:

$=2*{\sqrt {2}}+2*{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}*{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}$ --> Blick auf (2)ab --> den Teil kann man ausmultiplizieren (und damit schöner gestalten):

Ausmultiplikation:

${\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}*{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {({\sqrt {2}}-1)*({\sqrt {2}}+1)}}$ --> Wurzelgesetz: Eine Multiplikation kann man unter eine gemeinsame Wurzel schreiben! --> Struktur: Dritte binomische Formel!

$={\sqrt {({\sqrt {2}})^{2}-1^{2}}}$

$={\sqrt {2-1}}$

$={\sqrt {1}}$

$=1$

Das jetzt in unsere eben pausierte Rechnung von etwas weiter oben eingesetzt ergibt:

$=2*{\sqrt {2}}+2*1$

$=2*{\sqrt {2}}+2$

Das sollte jetzt vereinfacht genug sein:)

Nachschlageverzeichnis

• Binomische Formeln: Übersicht - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=-laNxxdV5QY&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=6
• 1. Binomische Formel - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=_bvjm1qcBhw&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=2
• 2. Binomische Formel - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=KfDoZMCDcxM&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=2
• 3. Binomische Formel - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=k7RwRWJwowc&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=4
• Binomische Formeln: Wurzeln - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=Qphp9gqYXR8&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=10
• Binomische Formeln: Negative Zahlen: https://www.youtube.com/watch?v=4mzEyj_HOt4&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=19
• Binomische Formeln vereinfachen: https://www.youtube.com/watch?v=E2T3vMxDE4o&list=PLF29x0idI4lVz_UYDm1tYndPzQ23wR1cW&index=20