Logarithmen

Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.

Kurze Wiederholung:

$\log _{2}(8)=3$ Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?

In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)

Wichtig zu merken:

1. log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!
2. log(<= 0 ) ist nicht definiert! -> d. h. Logarithmus kann nie negativ sein!
3. log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
4. ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.

Logarithmusgesetze

Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!

Erstes Gesetz

$\log(x*y)=\log(x)+\log(y)$

Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:

$\log _{3}(3x)=log_{3}(3)+log_{3}(x)=1+log_{3}(x)$

Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

$\log _{4}(ab)+\log _{4}({\frac {1}{a}})$

$=\log _{4}(a*b*{\frac {1}{a}})$ -> a kürzt sich raus.

$=\log _{4}(b)$

Zweites Gesetz

$\log({\frac {x}{y}})=\log(x)-\log(y)$

Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:

$\log({\frac {5x}{3y}})=\log(5x)-\log(3y)$

Kommando rückwärts:

$\log(7ab)-\log(8x)=\log({\frac {7ab}{8x}})$

Drittes Gesetz

$\log(x^{a})=a*log(x)$

Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.

$\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)$

Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:

$7*log(y)=log(y^{7})$

$3b*log(2a)=log((2a)^{3b})$

Viertes Gesetz

$log({\sqrt[{a}]{x}})={\frac {1}{a}}*log(x)$

Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.

Wendet man jedoch die Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz an ist dieses hier eigentlich überflüssig:

$log({\sqrt[{3}]{z+1}})={\frac {1}{3}}*log(z+1)$

Aber gleichzeitig gilt ja auch:

$log({\sqrt[{3}]{z+1}})=log((z+1)^{\frac {1}{3}})$-> Da jetzt das dritte Logarithmusgesetz angewendet:

$={\frac {1}{3}}*log(z+1)$

Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:

${\frac {1}{10}}*log_{3}(y^{2}+4)=log_{3}((y^{2}+4)^{\frac {1}{10}})$

$=log_{3}({\sqrt[{10}]{y^{2}+4}})$

Basiswechsel im Logarithmus

Gegeben ist folgende Gleichung: $\log _{2}(x^{3})+\log _{4}(5x^{2})=3,9$

Die Gleichung kann man aufgrund der verschiedenen Basen so nicht bearbeiten, man muss erst die Basen wechseln.

Das funktioniert wie folgt: Man kann den Logarithmus zu einer beliebigen Basis zu einem bzw. zwei Logarithmen jeder beliebigen anderen Basis machen.

Hierbei gilt: $log_{a}(b)={\frac {log_{r}(b)}{log_{r}(a)}}$; wobei gilt: a = alte Basis, b = Wert(e) im Logarithmus und r = Neue, beliebig ausgesuchte Basis

Auf unsere Gleichung von oben angewendet ergibt das Folgendes:

$\log _{2}(x^{3})+\log _{4}(5x^{2})=3,9$

$={\frac {log_{4}(x^{3})}{log_{4}(2)}}+log_{4}(5x^{2})=3,9$ -> Wir suchen uns als neue Basis 4 aus, um die Logarithmengesetze anwenden zu können.

$={\frac {1*log_{4}(x^{3})}{0,5}}+log_{4}(5x^{2})=3,9$ -> Der Logarithmus im Nenner enthält keine Variablen, man kann ihn also ausrechnen. Hierbei können allerdings recht unschöne Zahlen herauskommen:(

Als nächstes bietet es sich an den Bruch aufzulösen:

$=2*log_{4}(x^{3})+log_{4}(5x^{2})=3,9$ -> Jetzt das dritte Logarithmusgesetz:

$=log_{4}((x^{3})^{2})+log_{4}(5x^{2})=3,9$ -> Weiter geht's mit dem ersten Gesetz:

$=log_{4}((x^{3})^{2}*5x^{2})=3,9$

$=log_{4}(x^{6}*5x^{2})=3,9$ -> Potenzgesetze beachten:)

$=log_{4}(5x^{8})=3,9$ -> Jetzt gilt es noch den Logarithmus aufzulösen. Dazu potenzieren wir die Basis des aufzulösenden Logarithmus (hier also 4)mit dem Term auf jeder Seite.

$=5x^{8}=4^{3,9}|:5$

$=x^{8}=44,57|{\sqrt[{8}]{}}$

$x\approx 1,61$

Logarithmus naturalis

Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

$2*log(x)-log(4)+log({\frac {4y}{x}})$

Vorgehensweise: Logarithmengesetze anwenden. Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus

$=log(x^{2})-log(4)+log({\frac {4y}{x}})$ -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin

$=log({\frac {x^{2}}{4}})+log({\frac {4y}{x}})$ -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus

$=log({\frac {x^{2}}{4}}*{\frac {4y}{x}})$ -> Kürzen nicht vergessen:)

$=log(x*y)$

Zweite Aufgabe

$2^{x}=8$

Immer, wenn x als Potenz in einer Gleichung auftaucht, ist der Logarithmus ungemein nützlich. So auch hier:

$2^{x}=8|\log _{2}$ -> Man nimmt immer den Logarithmus zur Basis der Basis von x (hier also 2).

$=\log _{2}(2^{x})=\log _{2}(8)$

$=\log _{2}(8)$ -> Kann man rechnerisch - falls man keinen ausreichenden Taschenrechner hat - auch so rechnen: log(8)/log(2)

$x=3$

Dritte Aufgabe

$2*4^{x}=32|/2$

$4^{x}=16|\log _{4}$

$log_{4}(4^{x})=log_{4}(16)$

$x=2$

Vierte Aufgabe

$4*3^{2x+1}=972|:4$

$3^{2x+1}=243|\log _{3}$

$\log _{3}(3^{2x+1})=\log _{3}(243)$

$2x+1=5|-1$

$2x=4|:2$

$x=2$

Fünfte Aufgabe

$x^{3}*\ln({\sqrt {5+3x}})-x*\ln(5+3x)=0$

Nachschlagewerke

• Logarithmusgesetze - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=21sQ0EY1eRs&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=4
• Logarithmusgesetze anwenden - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=XyeZjk7fh-c&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=2
• Exponentialfunktionen und Logarithmus - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=e7d2iUOxAbo
• Logarithmus als Funktion - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=i3wMvW1CQ-o
• Exponentialgleichungen lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=yu9AGvHD1y0&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=8
• Logarithmusgleichungen mit versch. Basen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=5CC92VuNN6Y&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=7
• Logarithmusgleichungen mit ln lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=EYpCEvUHhYE&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=11