Umkehrfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>y=\frac{2x}{1+x}</math> | <math>y=\frac{2x}{1+x}</math> | ||
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<math>y=\frac{x}{2-x}</math> | <math>y=\frac{x}{2-x}</math> | ||
===== '''Zweite Aufgabe | ===== '''Zweite Aufgabe''' ===== | ||
<math>y=20+e^{3x}</math> | <math>y=20+e^{3x}</math> | ||
Aktuelle Version vom 21. Oktober 2024, 21:12 Uhr
Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?
Wichtig zu Anfang: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion bijektiv ist!
Durchführung
Wie geht man vor?
Zuerst gilt Folgendes: Wir setzen die gegebene Funktion "= y".
Wenn wir also folgende Funktion haben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = (x+2)^2}
lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2}
Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2 | \sqrt()}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt(y) = x + 2 |-2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{y}-2=x}
Sobald wir das x "isoliert" haben gilt es einen sogenannten Variablentausch durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).
In der Praxis tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus und umgekehrt. Dies geschieht unter der vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{x}-2 =y}
Damit haben wir unsere Umkehrfunktion:D
Erwähnenswert ist vielleicht noch:
Der Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion und umgekehrt.
Beispielaufgaben
Erste Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y*(1+x)} -> Ausmultiplizieren:)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y+yx |-yx}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x-yx= y} -> Links kann man x ausklammern!
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x*(2-y)=y |:(2-y)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{y}{2-y}}
Und noch der Variablentausch:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{x}{2-x}}
Zweite Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}|-20}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y-20= e^{3x} |ln(...)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln(y-20)=3x|:3}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(y-20)=x}
Variablentausch:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(x-20)=y}
Nachschlagewerke
- Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
- Umkehrfunktionen Voraussetzungen und Berechnung - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=KiIcbIrmjWg
- Voraussetzungen für Umkehrfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=tUUHFqmENvg
- Umkehrfunktionen: Achtung bei x^2 - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AszdBZugcdo
