Stetigkeit

Was ist eigentlich Stetigkeit?

Der (grobe) Versuch einer Erklärung.

Definition (oder so)

Meistens hört man beim Thema Stetigkeit ja, dass eine Funktion stetig ist, wenn man sie zeichnen kann, ohne den Stift absetzen zu müssen.

Das ist zwar meistens richtig aber auch:

Erstens: Etwas unpräzise und

Zweitens: Es ist nur meistens richtig, aber eben nicht immer.

Ein Beispiel:

Wir nehmen die Funktion $y={\frac {1}{x}}$ mitsamt ihres Schaubildes:

1/x

Man sieht: Zum Zeichnen muss man den Stift absetzen.

Trotzdem ist die Funktion stetig.

Weshalb?:

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 logischerweise nicht definiert. Eine Lücke in der Definitionsmenge bedeutet aber nicht das die Funktion nicht stetig ist! An dieser Stelle kann schlicht und ergreifend keine Aussage über die Stetigkeit getroffen werden.

Die simple Erklärung von oben reicht also nicht aus, da muss noch etwas anderes her.

Ich versuche mal, es einfach zu halten:

Man sucht sich einen beliebigen Punkt der Funktion auf der x-Achse und dessen dazugehörigen Wert auf der y-Achse.

Als nächstes sucht man sich 2 weitere Punkte der Funktion, jeweils einen links und einen rechts des ersten Punktes.

Jetzt "schieben" wir die x-Koordinaten der beiden neuen Punkte an den x-Wert des ersten Punktes ran.

Wenn die y-Werte der Punkte parallel dazu auch näher an den y-Wert des ersten Punktes herangehen ist die Funktion stetig.

Nachschlagewerke

• Stetigkeit Epsilon-Delta-Definition-Definition - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=DvM9i1xL_Zw
• Stetigkeit Übersicht - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=8aUoOAHbBrk&list=PLLTAHuUj-zHg3w5RkNKOR4oKkGfjl6MtV
• Was ist Stetigkeit? - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=fWTv95JNb8Q
• Limes Grundlagen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=iUeeLtl3yLE
• Limes Advanced - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE
• Abschnittsweise Stetigkeit - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=_ke4E-zjI7k