Zinsberechnung

Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?

(Alternative Zinsformeln).

Grundlegende Variablen

Starten wir mit dem Handwerkszeug:

K₀ = Anfangskapital

t = Laufzeit (in Jahren)

K_t = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).

r = Zinssatz (in Prozent)

Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.

Einfache Verzinsung

Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.

Normalform

Grundlegende Berechnungsformel: $K_{t}=K_{0}+r*t*K_{0}$

Alternativ: $K_{t}=(1+r*t)*K_{0}$

Beispielaufgabe:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?

$K_{3,5}=(1+5\%*3,5)*5000=(1+0,05*3,5)*5000=18375$

A: Auf 18.375 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Wenn man den Zinssatz berechnen soll.

Beispiel: Aus 3.000 Euro werden in 3 Jahren 4.150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $4150=(1+r*3)*3000$

Jetzt heißt es nach r umstellen:

$4150=(1+r*3)*3000$ | :3000

${\frac {4150}{3000}}=(1+r*3)$ | -1

${\frac {4150}{3000}}-1=r*3$ | :3 / *1/3

${\frac {1}{3}}*({\frac {4150}{3000}}-1)=r=0,1278=12,78\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {1}{t}}*({\frac {K_{t}}{K_{0}}}-1)$

Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:

$r={\frac {K_{t}-K_{0}}{K_{0}*t}}$

Beweis gefällig?:

$r={\frac {4150-3000}{3000*3}}={\frac {1150}{9000}}=0,127777=12,78\%$

Exponentielle Verzinsung

Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+r)^{t}*K_{0}$

Beispiel:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?

$K_{1,5}=(1+,05)^{1,5}*5000=5379,65$

A: Auf 5379,65 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden in 3 Jahren 9.261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $9261,32=(1+r)^{3}*8000$

Also wieder umstellen:

$9261,32=(1+r)^{3}*8000$ | :8000

${\frac {9261,32}{8000}}=(1+r)^{3}|{\sqrt[{3}]{}}$

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}=(1+r)$ | -1

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}-1=r={\sqrt[{3}]{1,15774}}-1=0,05=5\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\sqrt[{t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-1$

Unterjährige Verzinsung

Exponentielle Verzinsung, nur mit mehreren Auszahlungen pro Jahr.

Hier kommt - wie schon angedroht - eine neue Variable ins Spiel:

m = Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr (z. B. m=2 für halbjährlich, m=4 für vierteljährlich, m=12 für monatlich)

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+{\frac {r}{m}})^{m*t}*K_{0}$

Beispiel:

10.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 6 Prozent für 2 Jahre angelegt, wobei die Zinsen monatlich berechnet werden. Wie hoch ist das Endkapital?

$K_{2}=(1+{\frac {0,06}{12}})^{2*12}*10000=(1+0,005)^{24}*10000=1,12749*10000=11274,90$

A: 11274,90 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 5.000 Euro werden nach 3 Jahren bei vierteljährlicher Verzinsung 5.960,50 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $5960,50=(1+{\frac {r}{4}})^{4*3}*5000$

Umstellung:

$5960,50=(1+{\frac {r}{4}})^{4*3}*5000$ | :5000

${\frac {5960,50}{5000}}=(1+{\frac {r}{4}})^{12}|{\sqrt[{12}]{}}$

${\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}=1+{\frac {r}{4}}$ | -1

${\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}-1={\frac {r}{4}}$ | *4

$4*({\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}-1)=r=4*({\sqrt[{12}]{1,1921}}-1)\approx 4*(1,01468-1)=4*0,01468=0,05872=5,87\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r=m*({\sqrt[{m*t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-1)$

Alternativ funktioniert auch:

$r=m*{\sqrt[{m*t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-m$

Stetige Verzinsung

Last but not least, die stetige Verzinsung: Hier werden fortlaufend (zu jedem Zeitpunkt) Zinsen berechnet und hinzuaddiert, weshalb das Ganze eher ein Modell als ein praktisches Konzept ist.

Keine neuen Variablen dieses Mal, e ist die gute alte Eulersche Zahl:)

Normalform

Basisformel: $K_{t}=K_{0}*e^{r*t}$

Beispiel:

10.000 Euro werden mit 5 Prozent für 3 Jahre stetig verzinst. Wie hoch ist das Endkapital?

$K_{3}=10000*e^{0,05*3}=10000*1,161834\approx 11618,34$

A: 11618,34 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden nach 2 Jahren bei stetiger Verzinsung 8.664,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

Noch eine Umstellung:

$8664,32=8000*e^{r*2}$ | :8000

${\frac {8664,32}{8000}}=e^{r*2}$ | ln

$\ln {({\frac {8664,32}{8000}})}=r*2$ | :2 / *1/2

${\frac {1}{2}}*\ln {({\frac {8664,32}{8000}})}=r={\frac {\ln {(1,08304)}}{2}}={\frac {0,079804}{2}}=0,039902\approx 0,04=4\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {\ln {({\frac {K_{t}}{K_{0}}})}}{t}}$

Zinssatz-"Transformation"

In einigen Aufgaben kann es erforderlich sein, zwischen den Zinsarten zu wechseln (würg!). Hierzu eine Tabelle aus dem Skript:

Zinstransformationstabelle

Logik: Was muss ich rechnen, wenn ich einen gegebenen Zinssatz (oben) in einen anderen Zinssatz (links) umrechnen möchte?

Zur Verwendung:

Wenn eine Aufgabe gestellt wird wie: "Wie hoch müsste der Zinssatz bei exponentieller Verzinsung gewählt werden, wenn bei einer einfachen Verzinsung Zinssatz x und Zeitraum y gegeben sind um auf das gleiche Endkapital zu kommen?"

Hierzu einfach aus der Tabelle die Formel für die Transformation von der einfachen Verzinsung in die exponentielle Verzinsung (Spalte 4, Zeile 2) heraussuchen, die Werte einsetzen und ausrechnen. Das Ergebnis ist der exponentielle Zinssatz.