Barwertkonzept

Das zweite Thema der zweiten Vorlesung. Was ist das Barwertkonzept und worum geht es dabei?

Allgemeine Definitionen

Barwert

Vereinfacht gesagt ist der Barwert (Present Value) der heutige Wert von in Zukunft stattfindenden Zahlungen (egal ob ein- oder Auszahlungen). Dabei werden diese zukünftigen Zahlungen auf heute abgezinst.

Die Basisformel zur Berechnung sieht so aus: $B=\sum _{i=1}^{t}{\frac {Z_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

Auf Deutsch:

Die Summe von allen in der Zukunft stattfindenden Zahlungen abgezinst mit dem Zinssatz und dem jeweiligen Jahr.

Es gilt:

B / PV = Barwert

i = ein simpler Zähler, hilft hier bei der Veranschaulichung

t = Zeit (meistens in Jahren), hier Jahr i

Z = Zahlung (in Währung), hier Zahlung i

r = Zinssatz (in Prozent)

Für die Interpretation gilt grundsätzlich:

Ist der Barwert positiv: Investition/Vorhaben durchführen.

Ist er negativ: Vorhaben sein lassen.

Das lässt sich aber auch ohne Summe ausdrücken: $B=Z*{\frac {1-(1+r)^{-t}}{r}}$

Nettobarwert

Bezeichnet den Barwert abzüglich aller eventuell anfallender Kosten:

$B_{net}=B-A$

A = Kosten

Endwert

Der Endwert (Future Value) dagegen konzentriert sich darauf, den Wert von zukünftigen Zahlungen zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Zukunft zu bestimmen; wenn also z. B. x Jahre lang Zahlungen in einen Kapitaltopf geleistet werden und diese y Jahre mit z Prozent verzinst werden, was wäre die Summe am Ende? Anders als beim Barwert werden die Zahlungen hier aufgezinst.

Die Basisformel lautet wie folgt: $E=Z*{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}$

E / FV = Endwert

Nachschüssig

Zahlungen werden am Ende einer Periode (eines Jahres, Monats, etc.) getätigt, z. B. Mieten. Die reguläre Barwertformel gilt direkt:

$B=Z*{\frac {1-(1+r)^{-t}}{r}}$

Das Gleiche gilt beim Endwert:

$E=Z*{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}$

Vorschüssig

Die Zahlungen werden am Anfang einer Periode geleistet, z. B. Versicherungsprämien. Da diese Zahlung im Laufe des Monats mit verzinst wird muss die Formel ergänzt werden:

$B=Z*{\frac {1-(1+r)^{-t}}{r}}*(1+r)$

Auch wieder dasselbe Spiel beim Endwert:

$E=Z*{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}*(1+r)$

Barwert

Beispiel zum Start

Wir kaufen heute eine normale Anleihe für 1000 Euro. Die Anleihe zahlt 3 Jahre lang 5 Prozent Zinsen p.a.. Unsere Zahlungsströme sehen also so aus:

i	1	2	3	Summe
t_i	1	2	3
Z_i	50	50	1050	1150

Insgesamt zahlt die Anleihe für unsere 1000 Euro jetzt über 3 Jahre verteilt also 1150 Euro aus.

Zur Berechnung:

$B={\frac {50}{(1,04)^{1}}}+{\frac {50}{(1,04)^{2}}}+{\frac {1050}{(1,04)^{3}}}=48,08+46,26+933,70=1028,04$

Unsere 1150 Euro über 3 Jahre sind heute also 1028,04 Euro wert.

Faktorentabelle

Übersicht der Bar- und Endwertfaktoren (auch in der Formelsammlung enthalten).

Ewige Rente

Ein theoretisches Konstrukt, das von unendlich vielen Zahlungen in der Zukunft ausgeht (zu finden z.B. bei der näherungsweisen Bewertung von Dividendentiteln oder Immobilen).

Dadurch, dass es unendlich viele Zahlungen gibt, kann man sie nicht einfach aufsummieren. Stattdessen lautet die Formel:

$B_{ewig}={\frac {Z}{r}}$

Sonderfall: Ewig wachsende Rente

Angenommen, dass die Zahlungen jedes Jahr um einen bestimmten Prozentsatz steigen, der Zinssatz aber konstant bleibt, gilt Folgendes:

$B_{ewig}={\frac {Z}{r-g}}$

g = Jährliche Wachstumsrate der Zahlungen

Beispiel:

Eine Immobilie erwirtschaftet 10.000€ Mieteinnahmen pro Jahr, diese steigen jährlich um 2 Prozent. Der Diskontierungszinssatz beträgt 5 Prozent. Rechnung:

$B_{ewig}={\frac {10000}{0,05-0,02}}=333333,33$

Das funktioniert logischerweise nur in Fällen, in denen die Wachstumsrate kleiner ist als der Zinssatz.

Nachschlagewerke

• Barwert + Endwert - Studyflix: https://studyflix.de/wirtschaft/barwert-endwert-1006
• Ewige Rente - Studyflix: https://studyflix.de/wirtschaft/ewige-rente-1010
• Discounting - Wall Street Oasis: https://www.wallstreetoasis.com/resources/skills/finance/discounting

Notizen zum Barwert