Lineare Regression

Wenn es 2 zweidimensionale Datenreihen gibt kann man vielleicht irgendeine Form von Gerade ins Punktediagramm zeichnen. Darum geht es bei der linearen Regression.

Das Grundgerüst sieht so aus:

$y_{i}=\alpha +\beta *x_{i}+\epsilon _{i}$

Hierbei übernehmen Alpha und Beta jeweils die y- und x-Funktion der linearen Gleichung während Epsilon die Abweichung (d. h. Punkte, die nicht exakt auf der Geraden liegen) beschreibt.

Hier nochmal die Statistischen Kennzahlen, die werden hier wieder wichtig: Statistische Kennzahlen

Annahme:

y_n = Rendite der Aktie in der jeweiligen Zeitperiode

x_n = Rendite des Vergleichs-Indizes in der jeweiligen Periode

Beta

Berechnung:

$\beta ={\frac {\sigma _{xy}}{\sigma _{x}^{2}}}=\beta _{xy}$ (Beta = Kovarianz / Varianz von x; Keine Einheit!)

Alternativ: $\beta ={\frac {\rho _{xy}*\sigma _{y}}{\sigma _{x}}}=\beta _{xy}$ (Beta = Korrelationskoeffizient * Standardabweichung y / Standardabweichung x)

Entspricht der Steigung (Präfix von x) in der Geraden.

Alpha

Berechnung:

$\alpha ={\overline {y}}-\beta *{\overline {x}}$ (Alpha = Mittelwert y - Beta * Mittelwert x; Keine Einheit!)

Entspricht dem y-Wert in der Geraden.

Bestimmtheitsmaß

Berechnung:

$R^{2}={\frac {\beta _{xy}^{2}*\sigma _{x}^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}={\frac {\sigma _{xy}^{2}}{\sigma _{x}^{2}*\sigma _{y}^{2}}}=\rho _{xy}^{2}$

Beschreibt den Anteil am Risiko der Aktie, der bereits durch den Index vorhanden ist.

Anders ausgedrückt:

Bestimmtheitsmaß = Risiko Index = Gesamtrisiko Aktie - Risiko Aktie

Sonstiges

Die (Regressions-)gerade verläuft immer durch den Mittelpunkt (Mittelwert x, Mittelwert y), beginnt immer am Punkt (0, Alpha) und hat immer die Steigung Beta.