Polynomdivisionen

Ich komme um das Thema wohl wirklich nicht herum...

Polynomdivision

Oder doch?

Horner-Schema

Wir haben die folgende Funktion:

$y=3x^{3}-15x+12$

Aufgabe: Die Nullstellen bestimmen.

Am Anfang gilt es - analog zur Polynomdivision - eine Nullstelle zu raten. Geht hier glücklicherweise recht schnell: x = 1 (für alle x einsetzen und schauen das 0 rauskommt)

Jetzt funktioniert das Ganze wie folgt:

Zuerst einmal gilt es alle Faktoren der Gleichung nebeneinander (von links nach rechts) zu schreiben:

	3	0	-15	12
1

Nicht vergessen: Sollte ein Faktor in der Gleichung fehlen - so wie hier x^2 - eine 0 hinschreiben!

Die erratene Nullstelle in die zweite Zeile an den linken Rand setzen.

Jetzt wird wie folgt gerechnet:

1. Den ersten Faktor - hier die 3 - einfach so in die dritte Zeile schreiben

	3	0	-15	12
1
	3

2. Diesen Faktor mit der erratenen Nullstelle multiplizieren und in die zweite Zeile unter den zweiten Faktor schreiben (3 * 1 = 3)

	3	0	-15	12
1		3
	3

3. Den zweiten Faktor mit der neuen Zahl unter ihm addieren und das Ergebnis in die dritte Zeile darunter übertragen (3 + 0 = 3)

	3	0	-15	12
1		3
	3	3

4. Rinse and repeat. (Wieder mit der Nullstelle multiplizieren, aufschreiben, mit dem dritten Faktor addieren, aufschreiben, mit der Nullstelle multiplizieren, aufschreiben, ...)

So sieht das dann am Schluss aus:

	3	0	-15	12
1		3	3	-12
	3	3	-12	0

Steht am Ende der Rechnung eine 0, Herzlichen Glückwunsch! Soeben wurde bewiesen, dass die erratene Nullstelle tatsächlich eine Solche ist:)

Besser noch: Wenn wir uns die 0 am Ende wegdenken und nur die Ergebnisse aus der dritten Zeile nehmen:

3

3

-12

0

...haben wir die Faktoren für (hier) eine quadratische Gleichung: $y=3x^{2}+3x-12$

(Nichts Anderes hätte man auch bei der Polynomdivision herausbekommen)

Diese quadratische Gleichung lässt sich nun mit PQ-/ABC-Formel auf die übrigen Nullstellen untersuchen (nicht vergessen - wir haben schon Eine!).

Bei Gleichungen mit größeren Exponenten als 3 kommen am Ende den Horner-Schemas Gleichungen des nächstniedrigeren Grades heraus. In solchen Fällen das Horner-Schema einfach so lange anwenden bis man bei einer quadratischen Gleichung angekommen ist - und immer an die bereits gefundenen Nullstellen denken!

Nachschlagewerke

• Polynomdivision 1 - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=CNiS387yEOc
• Horner-Schema - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=8LfYZzR_K_k
• Horner-Schema 4. Grades - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=4ieqRkmqiIg