Normalverteilung

Was ist eine Normalverteilung und wie sieht sie aus?

Sinn: Häufigkeiten von Sachen darstellen.

Allgemein

Eine Normalverteilung sieht in den meisten Fällen in etwa so aus:

Typisches Aussehen der Normalverteilung.

Hierbei sind 2 Parameter aus den Zufallsvariablen wichtig:

Der Erwartungswert E(X)/$\mu$ bestimmt die Höhe der Spitze der Normalverteilung - je größer E(X), desto höher der Hochpunkt.

Die Varianz $\sigma ^{2}$ bestimmt die Breite der Verteilung - je höher Sigma, desto breiter die Kurve.

Der gesamte Flächeninhalt der Normalverteilung beträgt immer 1 (=100%).

Praxis

Das Ganze dient zur Berechnung und Darstellung von Wahrscheinlichkeiten. Wenn man weiß, dass eine Datenmenge normalverteilt ist kann man unter anderem Folgendes beantworten:

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der gesuchte Wert kleiner/größer als x?
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt er zwischen x und y?
• etc.

Eine Anmerkung noch: Bei der Normalverteilung geht es immer um die Bestimmung von Flächen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Wert herauskommt ist so gering, dass man sie guten Gewissens als =0 schreiben kann.

Soll heißen:

Immer: P(X=a) = 0

Flächeninhalte werden ja normalerweise mit einem Integral berechnet. Aber das Integral einer Normalverteilung? Viel Spaß:)

Deshalb gibt es sog. Phi-Funktionen (siehe unten) und zugehörige Wertetabellen (siehe auch unten).

Machen wir aber einfach mal wieder ein Beispiel:

Allgemeine Berechnung

Also, was wird wie gerechnet?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als a ist?

Wenn: $a=51;b=62;\mu =40;\sigma =12,5$

Zuerst wird in der Phi-Funktion a von mu abgezogen und das Ganze durch sigma dividiert:

$P(X<a)=\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})=\phi ({\frac {51-40}{12,5}})=\phi (0,88)$

Das Ergebnis lässt sich jetzt mithilfe einer Wertetabelle interpretieren:

Wertetabelle der Normalverteilung.

Die wird jetzt wie folgt benutzt:

Man nimmt sich das Ergebnis der Phi-Funktion (hier 0,88) und nutzt die Zahl vor dem Komma und die erste Zahl dahinter um die Zeile zu bestimmen.

Hier also die Zeile 0,8.

Jetzt nimmt man die zweite Zahl hinter dem Komma und bestimmt damit die Spalte - hier also Spalte 0,08.

Et Voila: Der Wert der an der bestimmten Stelle in der Tabelle steht ist unser Ergebnis.

$\phi (0,88)=0,8106=81,06\%$

Eine kleine Anmerkung noch:

Was ist, wenn in der Phi-Funktion ein negatives Ergebnis steht?

Dann gilt: $\phi (-iwas)=1-\phi (iwas)$

Bei dem gegenteiligen Fall muss man etwas umdenken:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a ist?

Jetzt muss man wissen:

Bei Aufgaben "größer als"/"mindestens"/etc. muss das Ergebnis der Phi-Gleichung von 1 abgezogen werden!

Legt man die gleichen Werte wie eben zugrunde rechnet man also:

$P(X>a)=1-\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})=1-\phi ({\frac {51-40}{12,5}})=1-\phi (0,88)=1-0,8106$

$1-0,8106=0,1894=18,94\%$

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als a und kleiner als b ist?

Jetzt gilt Folgendes:

$P(a<X<b)=\phi ({\frac {b-\mu }{\sigma }})-\phi ({\frac {a-\mu }{\sigma }})=\phi ({\frac {62-40}{12,5}})-\phi ({\frac {51-40}{12,5}})$

Nachschlagewerke

(endlich gibt es sie mal wieder:D)

• Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=_rVt6qTkea8
• Rechnen mit der Normalverteilung - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=m0TST6n8REc
• Normalverteilung - Mathago: https://www.youtube.com/watch?v=4ip_PJU9kcQ