Übungsaufgaben zu Anleihen

Ein paar Aufgaben zum Thema Anleihen mit den zugehörigen Lösungen.

Die Lösungen zu den Aufgaben stehen direkt darunter!

Barwert/Präsenzwert/Fair Value

Aufgabe 1

Eine Anleihe mit einer Restlaufzeit von zehn Jahren und einem Nominalwert von 100 EUR hat einen Kupon (Nominalzins) von 2%. Wenn der Marktzins bei 3% p.a. liegt, wie hoch ist der faire Wert (Barwert, Present Value) der Anleihe?

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Lösung

$PV=2*{\frac {1,03^{10}-1}{0,03*1,03^{10}}}+{\frac {100}{1,03^{10}}}$

$PV=105,22$

Aufgabe 2

Die Schraube, Hut und Pfusch AG hat vor drei Jahren eine Anleihe mit einem Nominalwert von 100 EUR und einem Kupon (Nominalzins) von 6% begeben. Die Anleihe wird in exakt vier Jahren zurückgezahlt. Berechnen Sie den fairen Wert der Anleihe, wenn folgende Zinssätze (spot rates) für vergleichbare Anleihen am Markt zu beobachtet sind:

Restlaufzeit	1	2	3	4
Marktzins (%)	2	3	3,8	4,4

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Lösung

$PV={\frac {6}{1,02}}+{\frac {6}{1,03^{2}}}+{\frac {6}{1,038^{3}}}+{\frac {106}{1,044^{4}}}$

$PV=106,13$

Rendite

Aufgabe 1

Ein Zero-Bond mit einem Nominalwert von 100 EUR und einer Restlaufzeit von fünf Jahren wird an der Börse zum Preis von 89,24 % angeboten. Welche Rendite würde ein Anleger erzielen, der diese Anleihe kauft und bis zur Tilgung hält?

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Lösung

Formel:

$100=89,24*(1+r)^{5}|/89,24$

= ${\frac {100}{89,24}}=(1+r)^{5}|{\sqrt[{5}]{}}$

= ${\sqrt[{5}]{\frac {100}{89,24}}}=1+r|-1$

= ${\sqrt[{5}]{\frac {100}{89,24}}}-1=r=0,2302=2,3\%$

Bonität, Kurs und Risiko

Aufgabe 1

Am Markt ergibt sich für AAA-Unternehmensanleihen mit einer Restlaufzeit von 5 Jahren eine Rendite von 3,41%. Der Renditeaufschlag (Bonitäts-Spread) für AA-Anleihen beträgt 1,42%.

Wenn unerwartet schlechte Nachrichten dazu führen, dass eine 5-jährige Unternehmensanleihe mit 5% Coupon (Nennwert 100 EUR) von AAA auf AA herabgestuft wird, welchen Effekt hat dies auf den Anleihepreis? Warum verändert sich der Anleihepreis?

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Lösung

Schritt 1: PV berechnen

$PV=5*{\frac {1,0341^{5}-1}{0,341*1,0341^{5}}}+{\frac {100}{1,0341^{5}}}=107,20$

Schritt 2: PV mit Anpassung berechnen

$3,41+1,42=4,83$

$PV=5*{\frac {1,0483^{5}-1}{0,483*1,0483^{5}}}+{\frac {100}{1,0483^{5}}}=100,74$

Schritt 3: Antwort

Durch die Herabstufung der Bonität wird der Anleihekurs fallen. Denn zum Einen reduziert das gestiegene Risiko die Nachfrage nach der Anleihe, zum Anderen verlangen Investoren nun eine höhere Rendite von dem Unternehmen. Durch die so gestiegene Rendite wird der Kurs bereits bestehender Anleihen (d. h. konstanter Kupon) fallen.

Duration

Aufgabe 1

Ermitteln Sie die Duration einer 3-jährigen Anleihe mit 10% Coupon, deren Preis bei 100 Euro liegt.

Wie ändert sich die Duration, wenn der Marktzins auf 2% fällt?

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Lösung

Schritt 1: Duration berechnen

Annahme: Marktzins = Couponzins

10 / 1,10 = 9,09

10 / 1,10^2 = 8,26

110 / 1,10^3 = 82,64

9,09 + 8,26 + 82,62 = 99,99

${\frac {9,09*1+8,26*2+82,64*3}{99,99}}=2,7356$

Schritt 2: "Alternative" Duration berechnen

10 / 1,02 = 9,80

10 / 1,02^2 = 9,61

110 / 1,02^3 = 103,66

9,80 + 9,61 + 103,66 = 123,07

${\frac {9,80*1+9,61*2+103,66*3}{123,07}}=2,7627$

Schritt 3: Antwort

Würde der Marktzins lediglich 2 Prozent betragen würde der Fair Value der Anleihe steigen. Dadurch, das die späteren Couponzahlungen nicht mehr so stark abgezinst werden haben sie einen stärkeren Einfluss auf den Fair Value der Anleihe und da sie spät erfolgen verlängert sich die Duration der Anleihe.

Allgemein haben bei einem niedrigen Marktzinsniveau Zinsänderungen einen stärkeren Einfluss auf die Anleihekurse und die Duration von Anleihen ist tendenziell länger.

Fragen und Antworten

Aufgabe 1

Ist die folgende Aussage richtig? Begründen Sie Ihre Antwort!

Ist der Anleihe-Coupon größer als die Rendite (=Yield to Maturity), dann liegt der Anleihe-Kurs über dem Ausgabekurs.

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Lösung

Ja, die Aussage ist korrekt.

Wenn der Kupon einer Anleihe größer ist als die Rendite / der Marktzins ist die Anleihe ein attraktives Investment. Die Nachfrage - und damit der Kurs - wird daher über den Nominalbetrag hinaus ansteigen.

Alternativ: Da die Investoren einen Tilgungsverlust erleiden liegt die tatsächliche Rendite unterhalb des Kuponzinssatzes.

Aufgabe 2

Sind die folgenden Aussagen über Anleihen richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort!

1. Es besteht eine positive Beziehung zwischen dem Preis einer Anleihe und ihrer YTM.

2. Mit sich verschlechterndem Kreditrating sinkt üblicherweise der Preis einer Anleihe.

3. Der aktuelle Preis einer Anleihe mit einem Kupon von 4% und einer Restlaufzeit von drei Jahren, einem Nominalwert von 100 EUR und einer YTM von 4% beträgt 100 EUR.

4. Ein Zero-Bond hat eine höhere Duration als ein normaler Coupon-Bond mit der gleichen Laufzeit.

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Lösung

Frage 1:

Nein, diese Aussage ist falsch. Wenn der Couponzins einer Anliehe und der Marktzins gleich sind entspricht der Preis dem Nominalwert. Fällt der Marktzins hingegen unter den Couponzins steigt der Preis der Anleihe und umgekehrt (steigt der Marktzins fällt der Preis).

Frage 2:

Die Aussage stimmt. Dadurch, dass Investoren bei dem durch die Rating-Verschlechterung nun höheren Risiko eine höhere Rendite verlangen wird der Preis von bereits existierenden Anleihen fallen.

Frage 3:

Ja, auch diese Aussage stimmt. Wenn der Marktzins dem Couponzins einer Anleihe gleicht entspricht ihr Preis ihrem Nominalwert.

Frage 4:

Ja, diese Aussage ist korrekt. Dadurch, dass ein Zerobond keine Couponzahlungen vornimmt entspricht seine Duration seiner Laufzeit, wohingegen die Duration einer Couponanleihe immer geringer als ihre Laufzeit ist. Bei gleicher Laufzeit ist die Duration des Zerobonds also höher als die der Couponanleihe.