Intervalle

Intervalle sind Abschnitte ("von-da-bis-dort") auf einem Zahlenstrahl.

Dargestellt werden sie als mit Komma voneinander getrennte Zahlen innerhalb von normalen oder eckigen Klammern.

Beispiele:

[1,3] = Alle Zahlen von 1 bis 3.

[-5,8] = Alle Zahlen von -5 bis 8.

Geschlossene Intervalle

Ein Intervall mit zwei eckigen Klammern (am Anfang und Ende) bezeichnet man als "geschlossen". Das bedeutet, das die im Intervall angegebenen Zahlen noch zum Intervall bzw. der Menge, die es beschreibt, dazugehören. D. h. die Zahlen sind "eingeschlossen".

Beispiele:

[1,3] = Alle Zahlen von 1 bis 3

[-7,19] = Alle Zahlen von -7 bis 19

Offene Intervalle

Offene Intervalle haben auf beiden Seiten eine normale runde Klammer. In ihnen sind die im Intervall angegebenen Zahlen nicht enthalten. Das bedeutet:

(4,8) = Alle Zahlen von z. B. 4,00001 bis 7,999999

(-6,-1) = Alle Zahlen von -5,99999 bis -1,0000001

Wichtig ist: Die Zahl selbst gehört nicht zum Intervall, eine Annäherung an die Zahl (aus der passenden Richtung) aber schon.

Manchmal werden offene Intervalle auch mit eckigen Klammern nach außen statt mit runden Klammern geschrieben, also:

]5,9[ = (5,9)

Halboffene Intervalle

Eine Kombination aus offenen und geschlossenen Intervallen bezeichnet man als halboffen bzw. rechts- oder linksoffen, je nachdem, wo die runde Klammer steht.

Beispiele:

Halboffene Intervalle

(4,9] = ]4,9] = linksoffenes Intervall = Alle Zahlen von 4,1 bis 9

[-6,17) = [-6,17[ = rechtsoffenes Intervall = Alle Zahlen von -6 bis 16,99

Die Zahl, an deren Seite die eckige Klammer steht, ist immer im Intervall enthalten, die mit der runden Klammer hingegen nicht.

Endliche/unendliche Intervalle

Ein Intervall mit einem fest definierten Anfang und Ende nennt man endlich oder auch beschränkt.

Beispiele:

[5,12] = Alle Zahlen von 5 bis 12

(6,9) = Alle Zahlen von 6,001 bis 8,999

[-8,14) = Alle Zahlen von -8 bis 13,999

Ein Intervall, bei dem mindestens eine Zahl unendlich ist, bezeichnet man als unendlich oder unbeschränkt.

Beispiele:

Unendliche Intervalle

[5,∞) = Alle Zahlen von 5 bis unendlich

(-∞,17] = Alle Zahlen von minus unendlich bis 17

(6,∞) = Alle Zahlen von 6,01 bis unendlich

Hierbei ist wichtig: Da ∞ und -∞ keine Zahlen sind sind sie per Definition niemals Teil eines Intervalls und haben auf ihrer Seite daher immer eine runde (offene) Klammer!

Sonderfall:

(-∞,∞) = Alle Zahlen von minus unendlich bis plus unendlich => Alle reellen Zahlen -> IR

Rechnen mit Intervallen

Wie auch Mengen können Intervalle Bestandteil von Termen sein. Recht geläufig ist hierbei die Zusammenlegung von 2 Intervallen zu einem neuen Intervall oder einer Menge.

Intervalle, die zu Schnittmengen oder Vereinigungsmengen zusammengelegt werden (mal mehr, mal weniger korrekt).

Beispielhaft sei hier die Zusammenlegung zu Schnitt und Vereinigungsmengen erwähnt:

Bei einer Schnittmenge (⋂) wird der Bereich, an dem sich 2 Intervalle überlappen, als neues Intervall formuliert.

Beispiele:

(-5,3]⋂[1,7] = Alle Zahlen von -4,999 bis 3 und von 1 bis 7 -> Die Intervalle enthalten beide die Werte 1,2 und 3 => Das Ergebnis des Terms lautet [1,3]

(-∞,5]⋂[-5,∞) = Alle Zahlen von minus unendlich bis 5 und von -5 bis plus unendlich -> Beide Intervalle enthalten -5 bis 5 => Das Ergebnis lautet [-5,5]

Bei einer Vereinigungsmenge (∪) werden hingegen die Bereiche beider Intervalle miteinander zusammengelegt und eventuelle Duplikate gestrichen.

Beispiele:

(-4,7)∪[5,23] = Alle Zahlen von -3,99 bis 7 und von 5 bis 23 -> Die kleinste Zahl von allen ist -3,99 und die Größte 23 => Das Ergebnis des Terms lautet (-4,23]

[-2,0)∪[0,2) = Alle Zahlen von -2 bis -0,01 und von 0 bis 1,99 -> Die kleinste Zahl von allen ist -2 und die Größte 1,99 => Das Ergebnis des Terms lautet [-2,2)

Nachschlageverzeichnis

• Zahlenmengen - Studyflix: https://studyflix.de/mathematik/zahlenmengen-3260
• Intervalle - Studyflix: https://studyflix.de/mathematik/intervall-mathe-4398
• Intervalle - Ingenieurkurse.de: https://www.ingenieurkurse.de/hoehere-mathematik-analysis-lineare-algebra/grundlagen-mengenlehre-und-reelle-zahlen/reelle-zahlen/intervalle.html
• Intervalle - Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Mathematik)
• Mathe-Syntax - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=eWhAjzMjS-w
• Mathe-Syntax - Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole
• Schnittmenge - Mathebibel: https://www.mathebibel.de/schnittmenge
• Schnittmenge - Studyflix: https://studyflix.de/mathematik/schnittmenge-5249
• Vereinigungsmenge - Studyflix: https://studyflix.de/mathematik/mengenlehre-3541/vereinigungsmenge