Beträge

Betrag grundsätzlich:

Was drinsteht ist immer positiv bzw. wird durch den Betrag positiv gemacht.

Beispiele:

|2| = 2

|8| = 8

|-6| = 6

Betragsfunktionen

Das Ganze geht auch mit Funktionen:

Funktion: y = |x|

Schaubild:

Schaubild von y = |x|

Betragsfunktionen haben in ihrem Schaubild immer mindestens einen "cut" bzw. einen Scheitelpunkt, da der Betrag ja auch bei negativen Zahlen für durchweg positive Ergebnisse sorgt.

Da wir in dem Schaubild links den Cut bei x = 0 haben, haben wir für alle x-Werte kleiner null die Funktion y = -x und für alle x-Werte größer null die Funktion y = x.

Mathematisch wird das dann so ausgedrückt:

y = |x| { -x für x < 0 ; x für x >= 0}

Anderes Beispiel:

Funktion: y = |x - 1| + 2 Schaubild:

Schaubild von y = |x-1| + 2

Auch hier gilt wieder: Wir nehmen uns den Betrag in der Funktion, setzen diesen >= 0 und lösen nach x auf:

x - 1 >= 0 | +1

x >= 1 -> d. h. bei 1 ist der cut

Die umgekehrten Operatoren bei negativen Zahlen nicht vergessen!

Jetzt wissen wir, dass bei dieser Funktion für alle Werte x >= die Funktion y = x - 1 + 2 gilt. Für x < 1 gilt dann der Betrag * (-1) + 2 (dabei den Rest der Formel (hier + 2) nicht vergessen!)!

Das wird mathematisch so geschrieben:

y = |x-1| { -x + 1 für x < 0; x - 1 für x >= 0}

Betragsgleichungen

Erhält man die Aufgabe die Lösungsmenge einer Betragsfunktion zu bestimmen kann man wie folgt vorgehen:

Beispiel:

2x - 18 = |3-x|

Zuerst gilt es hier eine Fallunterscheidung durchzuführen, um den Bereich von x zu bestimmen. Also wieder den Betrag nehmen, >= 0 setzen und auflösen:

Erster Fall:

3 - x >= 0 | +x

3 >= x

x <= 3 (hier an den umgekehrten Operator denken!)

Wir gehen jetzt also davon aus, dass der Wert x <= 3 sein wird. Wir lassen also die Betragsstriche weg und rechnen aus:

2x - 18 = 3 - x | +x

3x - 18 = 3 | +18

3x = 21 / :3

x = 7

7 ist dummerweise größer als 3. Daher ist 7 kein Teil der Lösungsmenge. Nun zum 2 Fall:

Zweiter Fall:

Hier gehen wir davon aus, dass x > 3 gilt (auf die Operatoren achten!). Demnach müssen wir den Betrag während wir die Striche wegnehmen noch mit -1 multiplizieren. Am Ende lautet die Gleichung also:

2x - 18 = -3 + x / -x

x - 18 = -3 / +18

x = 15

15 ist größer 3 und demnach ein Teil der Lösungsmenge. Die Lösung der Gleichung sieht demnach so aus:

IL = {15}

Je nachdem, wie viele Beträge in einer Gleichung zu finden sind, gilt es, mehr Fälle zu unterscheiden und mehr potentielle Teile der Lösungsmenge zu überprüfen.

To be continued...

Nachschlageverzeichnis

• Betragsgleichungen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=lTTQA09M_jo
• Betragsfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=zcsUQCdjwwY
• Gleichungen mit Betrag lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=vWS_AChccyM
• Betragsgleichungen mit 2 Beträgen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=hOnrz2Vhjj8