Diversifikation im Portfolio

Das zweite Thema in Kapitel 3.

Wir werden hier ziemlich oft die hier brauchen.

Theorie

Einzeltitel

Fangen wir an: Wenn wir mehrere aufgelistete Szenarien sehen, jeweils mit Eintrittswahrscheinlichkeit und z.B. erwarteter Rendite, was ist das Erste woran man denkt?

Richtig: Varianz und Standardabweichung! (also, vielleicht nicht, aber das wäre die korrekte Antwort)

Wenn man schon die Eintrittswahrscheinlichkeiten auf dem Silbertablett serviert bekommt (wenn es in der Realität nur so einfach wäre...) können wir uns doch auch Gedanken über die vermutliche/erwartete Rendite aus dem Projekt machen.

Erwartete Rendite

Nehmen wir mal an das wir bei einem Investmentprojekt die folgenden Szenarien vorliegen haben:

	Rendite bei Eintritt	Eintrittswahrscheinlichkeit
Szenario 1	12%	25%
Szenario 2	12%	75%

Also, welche Rendite werden wir vermutlich erzielen (in diesem Fall eine reichlich dämliche Frage, ich weiß, aber spielen wir mal mit)?

Das kann man berechnen indem man einfach die jeweilige Eintrittswahrscheinlichkeit mit der Rendite multipliziert und das alles zusammenaddiert.

Also:

$E(r)=0,25*12\%+0,75*12\%=0,12=12\%$ (Wer hätte das gedacht).

Und wie hilft uns das jetzt weiter? Nun, das taugt hauptsächlich zur Berechnung der Varianz.

Varianz

Anders als damals in Mathe haben wir hier keinen Mittelwert und keine Tabelle mit vielen statistischen Werten. Sei's drum, es geht auch anders.

Zum Beispiel indem wir unsere Wahrscheinlichkeiten von eben nehmen,...

...dann in einer Klammer die Gesamtrendite von eben von der jeweiligen Einzelrendite abziehen...

...das Ganze quadrieren und mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren...

...und zum Schluss das alles wieder zusammenrechnen.

Klingt kompliziert, oder?

Machen wir das doch einfach mal:

$var(r)=\sigma ^{2}=s^{2}=0,25*(12\%-12\%)^{2}+0,75*(12\%-12\%)^{2}=0\%^{2}=0$

Oh Wunder, eine solche Rechnung ergibt hier 0. Glück gehabt, denn eine Varianz ist per Definition immer positiv (und hat diese bescheuerte %^2-Einheit)!

Aber was sagt dieses Ding jetzt aus? Nun, die Varianz ist die durchschnittliche, quadrierte Abweichung der Rendite von Erwartungswert (Abschreiben kann ich gut:)).

Soll heißen: Wie stark weicht die tatsächliche Rendite des Projekts (vermutlich) von der Rendite ab, die wir eben berechnet haben? Das zum Quadrat und schon haben wir die Varianz.

Aber wenn es diesen quadrierten Wert gibt, gibt es doch auch sicher einen ohne Quadrat. Wir erinnern uns: Das ist die Standardabweichung.

Standardabweichung

Ist nichts anderes als die durchschnittliche Abweichung der tatsächlichen Rendite vom berechneten Erwartungswert. Der Begriff "Abweichung" meint damit sowohl Abweichungen nach unten als auch nach oben (sic!).

Und da bei uns wie so oft die - wie ich persönlich finde sehr dogmatische - Formel "Volatilität=Risiko" gilt (Volatilität=Standardabweichung pro Jahr), bedeutet das im Umkehrschluss ja, das höhere Renditen als erwartet ein Risiko sind. Dafaq?!

Diese Überlegungen mal beiseite, wie berechnet man die Standardabweichung? Recht einfach, indem man die Wurzel aus der Varianz zieht:

$st.abw(r)=\sigma =s={\sqrt {0\%^{2}}}=0\%$

In diesem Fall ist die Rechnung jetzt nicht wirklich spektakulär, aber ich denke das Prinzip ist klar.

Portfolio

Soweit so gut. Was aber ist, wenn wir jetzt z.B. mehrere Aktien in einem Portfolio haben, wir in beide gleichzeitig investieren und zusätzlich zu den ganzen Kennzahlen von eben obendrein noch ausrechnen sollen zu welchen Anteilen man in die jeweiligen Aktien investieren soll und was das für das Portfolio bedeutet? Jetzt wird es etwas unangenehmer:(.

Portfoliorendite

Genau wie eben bei den Einzeltiteln gilt es hier die erwartete Rendite zu berechnen, dieses Mal allerdings vom gesamten Portfolio. Die Formel lautet wie folgt:

$E(r_{p})=w_{1}*\mu _{1}+w_{2}*\mu _{2}$

Wobei:

E(rp) = erwartete Rendite des Portfolios

w1/w2 = Gewichtung Aktie 1 / Aktie 2

mü1/mü2 = erwartete Rendite Aktie 1 / Aktie 2

Ein Beispiel:

Wir haben die folgenden Daten:

	Eintrittswahrscheinlichkeit	Rendite Aktie 1	Rendite Aktie 2
Szenario 1	0,4	-10%	20%
Szenario 2	0,2	0%	20%
Szenario 3	0,4	20%	10%

Berechnen wir doch erst einmal wie gehabt die einzelnen Renditen:

$E(r_{1})=0,4*(-10\%)+0,2*0\%+0,4*20\%=0,04=4\%$

$E(r_{2})=0,4*20\%+0,2*20\%+0,4*10\%=0,16=16\%$

Wenn wir nun davon ausgehen, dass das Portfolio zu 40% aus Aktie 1 und zu 60% aus Aktie 2 besteht ergibt das eingesetzt in unsere Formel:

$E(r_{p})=0,4*4\%+0,6*16\%=0,112=11,2\%$

Das ist unsere erwartete Portfoliorendite. Da wir 2 Aktien mischen wird sie immer irgendwo zwischen den beiden Renditen der Aktien liegen (außer wir verwenden solche Geschichten wie Leerverkäufe).

Portfoliogewichtung

Ein kleines Interludium: Was ist, wenn wir nicht wissen, wie die Aktien im Portfolio gewichtet sind? Stattdessen kennen wir die jeweiligen Renditen der Aktien und die Portfoliorendite. Was ist nun zu rechnen?

Nehmen wir mal die Kennzahlen:

$E(r_{1})=7\%$

$E(r_{2})=23\%$

$E(r_{p})=20\%$

Die Formel für die Portfoliorendite lautet bekanntlich:

$E(r_{p})=w_{1}*\mu _{1}+w_{2}*\mu _{2}$

Und wenn wir unsere Zahlen einsetzen ergibt das:

$20\%=w_{1}*7\%+w_{2}*23\%$

Wenn wir uns jetzt noch ins Gedächtnis rufen, dass bei 2 Aktien im Portfolio gilt $1=w_{1}+w_{2}$ und das umstellen zu $w_{2}=1-w_{1}$ können wir die Gewichtungen selbst ausrechnen:

$0,2=0,07w_{1}+0,23w_{2}$

$0,2=0,07w_{1}+0,23*(1-w_{1})$

$0,2=0,07w_{1}+0,23-0,23w_{1}$

$0,2=-0,16w_{1}+0,23$ |-0,23

$-0,03=-0,16w_{1}$ |:(-0,16)

$w_{1}=0,1875=18,75\%$

Damit hätten wir die Gewichtung von Aktie 1. Das jetzt noch in unsere Formel eingesetzt ergibt:

$w_{2}=1-18,75\%=81,25\%$

Die Gewichtung von Aktie 2. Das als kurzen Einschub falls so etwas drankommen sollte.

Portfoliovarianz und -kovarianz

Jetzt wird es wirklich haarig bzw. unübersichtlich. Für die Portfoliovarianz brauchen wir zuallererst die Varianzen von beiden Aktien - ich beziehe mich im Folgenden auf die Werte der Tabelle aus dem Abschnitt "Portfoliorendite":

	Eintrittswahrscheinlichkeit	Rendite Aktie 1	Rendite Aktie 2
Szenario 1	0,4	-10%	20%
Szenario 2	0,2	0%	20%
Szenario 3	0,4	20%	10%

Wir haben die Werte und auch schon die jeweiligen Renditen bestimmt. Dann mal auf zu den Varianzen:

$var(r_{1})=0,4*(-10\%-4\%)^{2}+0,2*(0\%-4\%)^{2}+0,4*(20\%-4\%)^{2}=0,0184=184\%^{2}$

$var(r_{2})=0,4*(20\%-16\%)^{2}+0,2*(20\%-16\%)^{2}+0,4*(10\%-16\%)^{2}=0,0024=24\%^{2}$

Die Formel für die Portfoliovarianz lautet folgendermaßen:

$var(r_{p})=w_{1}^{2}*var(r_{1})+w_{2}^{2}*var(r_{2})+2*w_{1}*w_{2}*cov(r_{1,2})$

Das bedeutet, dass wir zuerst die Kovarianz ausrechnen müssen. Hier wird es jetzt dummerweise richtig ekelhaft:

$cov(r_{1,2})=0,4*(-10\%-4\%)*(20\%-16\%)+0,2*(0\%-4\%)*(20\%-16\%)+0,4*(20\%-4\%)*(10\%-16\%)=-0,0064=64\%^{2}$

Ernsthaft, bis man diesen Rechnungszombie in den Taschenrechner eingetippt hat ist doch Weihnachten vorbei!

Mir fällt dummerweise gerade beim besten Willen keine bessere einfache, lustige Erklärung für die Berechnung der Kovarianz ein als:

"Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeit x mit den Ergebnissen der Subtraktionen "Rendite Aktie x - erwartete Rendite Aktie x" und das so lange bis es vorbei ist".

Jetzt können wir unsere Portfoliovarianz bestimmen:

$var(r_{p})=0,4^{2}*184\%^{2}+0,6^{2}*24\%^{2}+2*0,4*0,6*(-64\%^{2})=0,000736=7,36\%^{2}$

Wo wir schon dabei sind können wir ja auch gleich die Standardabweichungen bestimmen. Glücklicherweise ist das auch beim Portfolio relativ unkompliziert:

$st.abw(r_{1})=\sigma _{1}=s_{1}={\sqrt {184\%^{2}}}=0,136=13,5647\%$

$st.abw(r_{2})=\sigma _{2}=s_{2}={\sqrt {24\%^{2}}}=0,049=4,8990\%$

$st.abw(r_{p})=\sigma _{p}=s_{p}={\sqrt {7,36\%^{2}}}=0,027=2,7129\%$

Aber noch kurz in Wort zu dieser Kovarianz: Tatsächlich gibt es einen einfacheren Weg sie zu berechnen, dieser setzt allerdings voraus, dass wir die Standardabweichungen der Aktien und den Korrelationskoeffizienten kennen. Aber diese sind im Zweifelsfall ja schnell berechnet (siehe oben).

Die vereinfachte Formel lautet: $cov(r_{1,2})=\rho *\sigma _{1}*\sigma _{2}$

Korrelationskoeffizient

Wenn man über das Thema Risiko von einem Portfolio spricht kommt man am Korrelationskoeffizienten (zumindest in der Theorie) nicht vorbei. Denn selbiger gibt an wie stark die beiden Papiere zueinander korrelieren (vgl. das Beta, welches die Korrelation einer Aktie zum Gesamtmarkt abbildet).

Anders als das Beta liegt der Korrelationskoeffizient immer zwischen -1 und 1. Wobei:

Korrelationskoeffizient = 1: Perfekte Korrelation, beide Aktien verhalten sich genau gleich (steigen und fallen gleichzeitig gleich stark). Diversifikation zwischen diesen beiden Aktien kann man sich in so einem Fall sparen.

Korrelationskoeffizient = -1: Perfekte negative Korrelation, beide Aktien verhalten sich genau umgekehrt proportional zueinander. In so einem Fall kann das Portfoliorisiko unter Umständen (theoretisch!!!) vollständig eliminiert werden.

Korrelationskoeffizient = 0: Keine Korrelation, beide Aktien machen einfach was sie wollen. Aus Risikomanagement zumindest besser als die perfekte Korrelation.

Berechnet wird der Korrelationskoeffizient folgendermaßen:

$cov=\rho ={\frac {var(r_{p})}{st.abw(r_{1})*st.abw(r_{2})}}$

Da wir die benötigten Kennzahlen in unserem Beispiel schon berechnet haben geht das glücklicherweise recht schnell:

$cov=\rho ={\frac {-64\%^{2}}{13,5647\%*4,8990\%}}=-0,9632$

Bitte beachten: Die Prozente kürzen sich raus, der Korrelationskoeffizient hat also keine Einheit!

Wir sehen: In unserem Beispiel haben wir eine stark negative Korrelation, wenn Aktie 1 also steigt fällt Aktie 2 und umgekehrt.