Umkehrfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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t.b.a.
Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?
 
Wichtig zu Anfang: Eine '''Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion <u>bijektiv</u> ist!'''
 
== '''Durchführung''' ==
Wie geht man vor?
 
Zuerst gilt Folgendes: '''Wir setzen die gegebene Funktion "= y".'''
 
Wenn wir also folgende Funktion haben:
 
<math>f(x) = (x+2)^2</math>
 
lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:
 
<math>y = (x+2)^2</math>
 
Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:
 
<math>y = (x+2)^2 | \sqrt()</math>
 
<math>\sqrt(y) = x + 2 |-2</math>
 
<math>\sqrt{y}-2=x</math>
 
Sobald wir das '''x "isoliert"''' haben gilt es einen sogenannten '''Variablentausch''' durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).
 
In der Praxis '''tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus''' und umgekehrt. Dies geschieht unter der '''vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:'''
 
<math>\sqrt{x}-2 =y</math>
 
Damit haben wir unsere '''Umkehrfunktion''':D
 
Erwähnenswert ist vielleicht noch:
 
Der '''Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion''' und umgekehrt.
 
== '''Beispielaufgaben''' ==
 
===== '''Erste Aufgabe''' =====
<math>y=\frac{2x}{1+x}</math>
 
<math>\frac{2x}{1+x} = y |*(1+x)</math>
 
<math>2x=y*(1+x)</math> -> Ausmultiplizieren:)
 
<math>2x=y+yx |-yx</math>
 
<math>2x-yx= y</math> -> Links kann man x ausklammern!
 
<math>x*(2-y)=y |:(2-y)</math>
 
<math>x=\frac{y}{2-y}</math>
 
Und noch der Variablentausch:
 
<math>y=\frac{x}{2-x}</math>
 
===== '''Zweite Aufgabe''' =====
<math>y=20+e^{3x}</math>
 
<math>y=20+e^{3x}|-20</math>
 
<math>y-20= e^{3x} |ln(...)</math>
 
<math>\ln(y-20)=3x|:3</math>
 
<math>\frac{1}{3}*\ln(y-20)=x</math>
 
Variablentausch:
 
<math>\frac{1}{3}*\ln(x-20)=y</math>


== '''Nachschlagewerke''' ==
== '''Nachschlagewerke''' ==


* Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
* Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
* Umkehrfunktionen Voraussetzungen und Berechnung - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=KiIcbIrmjWg
* Voraussetzungen für Umkehrfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=tUUHFqmENvg
* Umkehrfunktionen: Achtung bei x^2 - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AszdBZugcdo

Aktuelle Version vom 21. Oktober 2024, 21:12 Uhr

Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?

Wichtig zu Anfang: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion bijektiv ist!

Durchführung

Wie geht man vor?

Zuerst gilt Folgendes: Wir setzen die gegebene Funktion "= y".

Wenn wir also folgende Funktion haben:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = (x+2)^2}

lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2}

Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2 | \sqrt()}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt(y) = x + 2 |-2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{y}-2=x}

Sobald wir das x "isoliert" haben gilt es einen sogenannten Variablentausch durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).

In der Praxis tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus und umgekehrt. Dies geschieht unter der vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{x}-2 =y}

Damit haben wir unsere Umkehrfunktion:D

Erwähnenswert ist vielleicht noch:

Der Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion und umgekehrt.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{2x}{1+x}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{2x}{1+x} = y |*(1+x)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y*(1+x)} -> Ausmultiplizieren:)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x=y+yx |-yx}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2x-yx= y} -> Links kann man x ausklammern!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x*(2-y)=y |:(2-y)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{y}{2-y}}

Und noch der Variablentausch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=\frac{x}{2-x}}

Zweite Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=20+e^{3x}|-20}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y-20= e^{3x} |ln(...)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln(y-20)=3x|:3}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(y-20)=x}

Variablentausch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*\ln(x-20)=y}

Nachschlagewerke

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