Potenzen

Kurze Wiederholung der Potenzen

Potenzgesetze

Hoch 0

Iwas hoch 0 ist immer 1:

$x^{0}=1$ ; $5^{0}=1$ ; $1^{0}=1$

Hoch 1

Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5^1 = 5 ; 3^1 = 3; 1^1 = 1}

Gleiche Basis & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten werden die Exponenten addiert:

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^4*2^2 = 2^{4+2} = 2^6}

Gleiche Basis & "geteilt"

Gleiches Spiel bei einer Division von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten, diesesmal werden die Exponenten allerdings voneinander subtrahiert:

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Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{10^4}{10^2} = 10^{4-2}}

Gleicher Exponent & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Exponenten zu verschiedenen Basen können die Basen in einer Klammer als Multiplikation zusammengefasst werden:

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Gleicher Exponent & "geteilt"

Gleiches gilt bei einer Division:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a^4}{x^4} = (\frac{a}{x})^4}

Potenz von Potenz

Hier gilt es jetzt aufzupassen: Wird direkt die Potenz potenziert oder steht die Basis mit der ersten Potenz in einer Klammer?

Fall 1:

Mit Klammern um Basis und erste Potenz werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2^3)^4 = 2^{3*4} = 2^{12}}

Fall 2:

Ohne Klammer wird zuerst die erste Potenz mit der Zweiten potenziert und dient dann als Exponent für die Basis:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{3^{4}} = 2^{3*3*3*3} = 2^{81} = Viel:)}

Negative Basis

Jetzt kommt es wieder drauf an: Steht die Basis in einer Klammer oder nicht?

Fall 1:

Ohne Klammern hat nur die Basis (d.h. die erste Zahl der Multiplikationskette) das Minus. Demnach ist das Ergebnis immer negativ:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -3^4 = -3*3*3*3 = -81}

Fall 2:

Mit Klammern um die Basis wird das Minus in jede Multiplikation mitgezogen. Bei einem geraden Exponenten ist das Ergebnis demnach positiv, bei einem Ungeraden negativ:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3)^4 = (-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81}

Negativer Exponent

Eine Basis mit negativem Exponent ist nichts anderes als 1 dividiert durch die Basis hoch des positiven Exponenten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3*3} = \frac{1}{9}}

Rationaler Exponent (Exponent = Bruch)

Jetzt zur Königsdisziplin: Was ist, wenn wir als Exponent einen Bruch haben? In dem Fall ist das das gleiche wie die Nenner-Wurzel aus der Basis hoch dem Zähler. Klar soweit:)?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4^2}}