Wurzeln

Eine Wiederholung der Wurzeln:

Wurzelgesetze

Wurzeln können nur von Zahlen größer oder gleich null gezogen werden

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.

ACHTUNG bei quadratischen Gleichungen

Ein Beispiel:

$x^{2}=16|\surd$

$x={\sqrt {16}}=4$

ABER $-4^{2}$ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung - beziehungsweise alle Gleichungen mit gerader Hochzahl - hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, 2 Lösungen (eben $x_{1}=4$ und $x_{2}=-4$).

Teilweises Wurzelziehen

Bezeichnet das "Zerlegen" von Zahlen innerhalb von Wurzeln, um die Wurzel (teilweise) lösen zu können:

${\sqrt {18}}={\sqrt {9*2}}={\sqrt {9}}*{\sqrt {2}}=3*{\sqrt {2}}$

${\sqrt {500}}={\sqrt {5*100}}=10*{\sqrt {5}}$

Das Ganze mit Brüchen:

${\sqrt {\frac {8}{9}}}={\sqrt {\frac {2*4}{9}}}$ -> Das Ziel ist im Zähler und im Nenner jeweils eine Quadratzahl zu haben (hier 4 und 9). Jetzt können wir aus denen die Wurzel ziehen und sie nach außen schreiben (bitte an die richtige Stelle im Bruch!). Da wir aus der 4 und der 9 schon die Wurzeln gezogen haben, werden diese jeweils durch 1 ersetzt, d.h. hier bleibt nur 2 in der Wurzel übrig:

$={\frac {2}{3}}*{\sqrt {2}}$

Wie wärs mal mit einer schwierigeren Zahl?:

${\sqrt {243}}$

Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 Teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?

2+4+3 = 9 -> Ja

Also: 243:3 = 240:3 + 3:3 = 80 +1 = 81

--> = ${\sqrt {3*81}}$

81 ist passenderweise eine Quadratzahl, wir können also die Wurzel ziehen und sie "ausklammern":

$=9*{\sqrt {3}}$

Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:

$5*{\sqrt {3}}={\sqrt {25}}*{\sqrt {3}}={\sqrt {75}}$

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

${\sqrt {\frac {75}{42}}}$

$={\sqrt {\frac {3*25}{2*21}}}={\sqrt {\frac {3*25}{2*3*7}}}$ -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist ein Quadratzahl

$={\frac {5}{1}}*{\sqrt {\frac {1}{14}}}$

Nachschlagewerke

• Wurzeln - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw
• Teilweises Wurzelziehen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=tRqteBSL5cs
• Wurzelterme vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=bcf_m4q1ub0
• Schriftliches Wurzelziehen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=RQlnMPpLQFk
• Teilweises Wurzelziehen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=t29WEfzbptE
• Teilweises Wurzelziehen mit Brüchen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=s3-cqGfNQjY
• Klammern mit Wurzeln, Distributivgesetz - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=U9PYdp-QJuA