Logarithmen

Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.

Kurze Wiederholung:

$\log _{2}(8)=3$ Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8

Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?

In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)

Logarithmusgesetze

Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwedung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!

Erstes Gesetz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x*y) = \log(x)+\log(y)}

Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)}

Geht umgekehrt natülich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \log_{4}(a*b*\frac{1}{a})} -> a kürzt sich raus.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\log_{4}(b)}

Zweites Gesetz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(\frac{x}{y}) = \log(x)-\log(y)}

Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(\frac{5x}{3y}) = \log(5x)-\log(3y)}

Kommando rückwärts:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(7ab)-\log(8x)= \log(\frac{7ab}{8x})}

Drittes Gesetz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^a)=a*log(x)}

Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multplikator vor den Logarithmus gezogen werden.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)}

Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7*log(y)=log(y^7)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3b*log(2a) = log((2a)^{3b})}

Viertes Gesetz

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)}

Die a-te Wurzel innerhalb eines Logaritmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.

Wendet man jedoch die Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz an ist dieses hier eigentlich überflüssig:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = \frac{1}{3}*log(z+1)}

Aber gleichzeitig gilt ja auch:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = log((z+1)^{\frac{1}{3}})} -> Da jetzt das dritte Logarithmusgesetz angewendet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{1}{3}*log(z+1)}

Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{10}*log_3(y^2+4) = log_3((y^2+4)^{\frac{1}{10}})}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_3(\sqrt[10]{y^2+4})}

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})}

Vorgehensweise: Logarithmengesetze anwenden. Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})} -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4})+ log(\frac{4y}{x})} -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4}*\frac{4y}{x})} -> Kürzen nicht vergessen:)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x*y)}