Logarithmen: Unterschied zwischen den Versionen
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Wichtig bei allen Gesetzen: '''Die Basis bleibt bei der | Wichtig bei allen Gesetzen: '''Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant''', bzw. '''muss zur Anwendung konstant sein!''' | ||
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<math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math> | <math>\log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)</math> | ||
Geht umgekehrt | Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben: | ||
<math>\log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})</math> | <math>\log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})</math> | ||
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'''Potenzen innerhalb von Logarithmen können als | '''Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.''' | ||
<math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math> | <math>\log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)</math> | ||
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<math>log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)</math> | <math>log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)</math> | ||
Die a-te Wurzel innerhalb eines | Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden. | ||
Wendet man jedoch die '''Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz''' an ist dieses hier eigentlich überflüssig: | Wendet man jedoch die '''Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz''' an ist dieses hier eigentlich überflüssig: | ||
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<math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math> | <math>=log_3(\sqrt[10]{y^2+4})</math> | ||
== '''Logarithmus naturalis''' == | |||
Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen. | |||
== '''Beispielaufgaben''' == | == '''Beispielaufgaben''' == | ||
Version vom 25. September 2024, 23:28 Uhr
Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.
Kurze Wiederholung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_2(8) = 3} Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8
Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?
In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)
Wichtig zu merken:
- log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!
- log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
- ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.
Logarithmusgesetze
Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!
Erstes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x*y) = \log(x)+\log(y)}
Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)}
Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \log_{4}(a*b*\frac{1}{a})} -> a kürzt sich raus.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\log_{4}(b)}
Zweites Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(\frac{x}{y}) = \log(x)-\log(y)}
Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:
Kommando rückwärts:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(7ab)-\log(8x)= \log(\frac{7ab}{8x})}
Drittes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^a)=a*log(x)}
Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)}
Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7*log(y)=log(y^7)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3b*log(2a) = log((2a)^{3b})}
Viertes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)}
Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.
Wendet man jedoch die Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz an ist dieses hier eigentlich überflüssig:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = \frac{1}{3}*log(z+1)}
Aber gleichzeitig gilt ja auch:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = log((z+1)^{\frac{1}{3}})} -> Da jetzt das dritte Logarithmusgesetz angewendet:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{1}{3}*log(z+1)}
Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{10}*log_3(y^2+4) = log_3((y^2+4)^{\frac{1}{10}})}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_3(\sqrt[10]{y^2+4})}
Logarithmus naturalis
Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen.
Beispielaufgaben
Erste Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})}
Vorgehensweise: Logarithmengesetze anwenden. Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})} -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4})+ log(\frac{4y}{x})} -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4}*\frac{4y}{x})} -> Kürzen nicht vergessen:)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x*y)}
