Logarithmen: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
'''Kurze Wiederholung:''' | '''Kurze Wiederholung:''' | ||
<math>\log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8 | <math> \log_2(8) = 3</math> Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8 | ||
Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?''' | Bedeutet im '''Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen"''' (aka potenzieren) '''damit 8 rauskommt?''' | ||
| Zeile 135: | Zeile 135: | ||
<math>2^x = 8</math> | <math>2^x = 8</math> | ||
===== '''Dritte Aufgabe''' ===== | Immer, wenn x als Potenz in einer Gleichung auftaucht, ist der Logarithmus ungemein nützlich. So auch hier: | ||
<math>2^x = 8 |\log_2</math> -> Man nimmt immer den Logarithmus zur Basis der Basis von x (hier also 2). | |||
<math>= \log_2(2^x) = \log_2(8)</math> | |||
<math>= \log_2(8)</math> -> Kann man rechnerisch - falls man keinen ausreichenden Taschenrechner hat - auch so rechnen: log(8)/log(2) | |||
<math>x = 3</math> | |||
'''Dritte Aufgabe''' | |||
<math>2*4^x=32 |/2</math> | |||
<math>4^x = 16 |\log_4</math> | |||
<math>x = log_4(16)</math> | |||
===== '''Vierte Aufgabe''' ===== | |||
===== '''Fünfte Aufgabe''' ===== | |||
<math>x^3*\ln(\sqrt{5+3x})-x*\ln(5+3x) = 0</math> | <math>x^3*\ln(\sqrt{5+3x})-x*\ln(5+3x) = 0</math> | ||
Version vom 25. September 2024, 23:29 Uhr
Alles (oder zumindest das Meiste) über Logarithmen.
Kurze Wiederholung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_2(8) = 3} Gesprochen: (Der) Logarithmus zur Basis 2 von 8
Bedeutet im Klartext: Mit wieviel muss ich 2 "hochnehmen" (aka potenzieren) damit 8 rauskommt?
In diesem Fall: 3 (weil 2^3=2*2*2 = 8)
Wichtig zu merken:
- log(1) ist unabhängig von der Basis immer null!
- log(<= 0 ) ist nicht definiert! -> d. h. Logarithmus kann nie negativ sein!
- log(iwas) (Logarithmus ohne Basisangabe) hat als Basis standardmäßig 10.
- ln(iwas) ist der Logarithmus zur Basis e.
Logarithmusgesetze
Wichtig bei allen Gesetzen: Die Basis bleibt bei der Anwendung der Gesetze konstant, bzw. muss zur Anwendung konstant sein!
Erstes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x*y) = \log(x)+\log(y)}
Produkte in einem Logarithmus können als Summe von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden. Beispiel:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{3}(3x) = log_{3}(3)+log_{3}(x) = 1 + log_{3}(x)}
Geht umgekehrt natürlich genauso: Man kann eine Summe aus 2 Logarithmen der gleichen Basis als einen Logarithmus (der gleichen Basis) mit einem Produkt aus den beiden enthaltenen Werten schreiben:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_{4}(ab)+\log_{4}(\frac{1}{a})}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \log_{4}(a*b*\frac{1}{a})} -> a kürzt sich raus.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\log_{4}(b)}
Zweites Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(\frac{x}{y}) = \log(x)-\log(y)}
Das Gleiche umgekehrt: Eine Division von 2 Zahlen innerhalb eines Logarithmus kann als Differenz von 2 getrennten Logarithmen geschrieben werden:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(\frac{5x}{3y}) = \log(5x)-\log(3y)}
Kommando rückwärts:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(7ab)-\log(8x)= \log(\frac{7ab}{8x})}
Drittes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^a)=a*log(x)}
Potenzen innerhalb von Logarithmen können als Multiplikator vor den Logarithmus gezogen werden.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(x^{2a+b})=(2a+b)*log(x)}
Und auch das lässt sich wieder ins Gegenteil verkehren:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7*log(y)=log(y^7)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3b*log(2a) = log((2a)^{3b})}
Viertes Gesetz
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[a]{x}) = \frac{1}{a}*log(x)}
Die a-te Wurzel innerhalb eines Logarithmus kann als 1/a vor den Logarithmus geschrieben werden.
Wendet man jedoch die Potenzregeln und das dritte Logarithmusgesetz an ist dieses hier eigentlich überflüssig:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = \frac{1}{3}*log(z+1)}
Aber gleichzeitig gilt ja auch:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log(\sqrt[3]{z+1}) = log((z+1)^{\frac{1}{3}})} -> Da jetzt das dritte Logarithmusgesetz angewendet:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{1}{3}*log(z+1)}
Aber weil's so schön ist: Das Ganze nochmal retour:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{10}*log_3(y^2+4) = log_3((y^2+4)^{\frac{1}{10}})}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_3(\sqrt[10]{y^2+4})}
Basiswechsel im Logarithmus
Gegeben ist folgende Gleichung: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_2(x^3)+\log_4(5x^2)=3,9}
Die Gleichung kann man aufgrund der verschiedenen Basen so nicht bearbeiten, man muss erst die Basen wechseln.
Das funktioniert wie folgt: Man kann den Logarithmus zu einer beliebigen Basis zu einem bzw. zwei Logarithmen jeder beliebigen anderen Basis machen.
Hierbei gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle log_a(b) = \frac{log_r(b)}{log_r(a)}} ; wobei gilt: a = alte Basis, b = Wert(e) im Logarithmus und r = Neue, beliebig ausgesuchte Basis
Auf unsere Gleichung von oben angewendet ergibt das Folgendes:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log_2(x^3)+\log_4(5x^2)=3,9}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{log_4(x^3)}{log_4(2)}+log_4(5x^2) = 3,9} -> Wir suchen uns als neue Basis 4 aus, um die Logarithmengesetze anwenden zu können.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1*log_4(x^3)}{0,5}+log_4(5x^2) = 3,9} -> Der Logarithmus im Nenner enthält keine Variablen, man kann ihn also ausrechnen. Hierbei können allerdings recht unschöne Zahlen herauskommen:(
Als nächstes bietet es sich an den Bruch aufzulösen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2* log_4(x^3)+ log_4(5x^2) = 3,9} -> Jetzt das dritte Logarithmusgesetz:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log_4((x^3)^2)+ log_4(5x^2) = 3,9} -> Weiter geht's mit dem ersten Gesetz:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_4((x^3)^2*5x^2) = 3,9}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_4(x^6*5x^2) = 3,9} -> Potenzgesetze beachten:)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log_4(5x^8) = 3,9} -> Jetzt gilt es noch den Logarithmus aufzulösen. Dazu potenzieren wir die Basis des aufzulösenden Logarithmus (hier also 4)mit dem Term auf jeder Seite.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 5x^8=4^{3,9} |:5}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = x^8 = 44,57 |\sqrt[8]{}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \approx 1,61}
Logarithmus naturalis
Der Logarithmus zur Basis e. Verhält sich in Funktionen fast genauso wie der normale Logarithmus und unterliegt ebenfalls den oben genannten Gesetzen.
Beispielaufgaben
Erste Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2*log(x)-log(4)+log(\frac{4y}{x})}
Vorgehensweise: Logarithmengesetze anwenden. Lösung: Drittes Logarithmusgesetz: 2 als Potenz in den ersten Logarithmus
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x^2)-log(4)+log(\frac{4y}{x})} -> Zweites Logarithmusgesetz rückwärts: Subtraktion von 2 Logarithmen = Logarithmus mit Division darin
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4})+ log(\frac{4y}{x})} -> Erstes Logarithmusgesetz rückwärts: Summe von 2 Logarithmen = Produkt in einem Logarithmus
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = log(\frac{x^2}{4}*\frac{4y}{x})} -> Kürzen nicht vergessen:)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =log(x*y)}
Zweite Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^x = 8}
Immer, wenn x als Potenz in einer Gleichung auftaucht, ist der Logarithmus ungemein nützlich. So auch hier:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^x = 8 |\log_2} -> Man nimmt immer den Logarithmus zur Basis der Basis von x (hier also 2).
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \log_2(2^x) = \log_2(8)}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \log_2(8)} -> Kann man rechnerisch - falls man keinen ausreichenden Taschenrechner hat - auch so rechnen: log(8)/log(2)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 3}
Dritte Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2*4^x=32 |/2}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4^x = 16 |\log_4}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = log_4(16)}
Vierte Aufgabe
Fünfte Aufgabe
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^3*\ln(\sqrt{5+3x})-x*\ln(5+3x) = 0}
Nachschlagewerke
- Logarithmusgesetze - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=21sQ0EY1eRs&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=4
- Logarithmusgesetze anwenden - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=XyeZjk7fh-c&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=2
- Exponentialfunktionen und Logarithmus - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=e7d2iUOxAbo
- Logarithmus als Funktion - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=i3wMvW1CQ-o
- Exponentialgleichungen lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=yu9AGvHD1y0&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=8
- Logarithmusgleichungen mit versch. Basen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=5CC92VuNN6Y&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=7
- Logarithmusgleichungen mit ln lösen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=EYpCEvUHhYE&list=PLF29x0idI4lXSN6xlwAQUjS71Tv-jdQ49&index=11
