Potenzen

Kurze Wiederholung der Potenzen.

Potenzgesetze

Hoch 0

Iwas hoch 0 ist immer 1:

$x^{0}=1$ ; $5^{0}=1$ ; $1^{0}=1$

Hoch 1

Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl:

$5^{1}=5;3^{1}=3;1^{1}=1$

Gleiche Basis & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten werden die Exponenten addiert:

$a^{x}*a^{y}=a^{x+y}$

$2^{4}*2^{2}=2^{4+2}=2^{6}$

Gleiche Basis & "geteilt"

Gleiches Spiel bei einer Division von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten, diesesmal werden die Exponenten allerdings voneinander subtrahiert:

${\frac {a^{x}}{a^{y}}}=a^{x-y}$

${\frac {10^{4}}{10^{2}}}=10^{4-2}$

Gleicher Exponent & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Exponenten zu verschiedenen Basen können die Basen in einer Klammer als Multiplikation zusammengefasst werden:

$3^{4}*5^{4}=(3*5)^{4}$

Gleicher Exponent & "geteilt"

Gleiches gilt bei einer Division:

${\frac {a^{4}}{x^{4}}}=({\frac {a}{x}})^{4}$

Potenz von Potenz

Hier gilt es jetzt aufzupassen: Wird direkt die Potenz potenziert oder steht die Basis mit der ersten Potenz in einer Klammer?

Fall 1:

Mit Klammern um Basis und erste Potenz werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert:

$(2^{3})^{4}=2^{3*4}=2^{12}$

Fall 2:

Ohne Klammer wird zuerst die erste Potenz mit der Zweiten potenziert und dient dann als Exponent für die Basis:

$2^{3^{4}}=2^{3*3*3*3}=2^{81}=Viel:)$

Negative Basis

Jetzt kommt es wieder drauf an: Steht die Basis in einer Klammer oder nicht?

Fall 1:

Ohne Klammern hat nur die Basis (d.h. die erste Zahl der Multiplikationskette) das Minus. Demnach ist das Ergebnis immer negativ:

$-3^{4}=-3*3*3*3=-81$

Weil: -3^4 = (-1)*3^4 = (-1)*3*3*3*3 = -81

Fall 2:

Mit Klammern um die Basis wird das Minus in jede Multiplikation mitgezogen. Bei einem geraden Exponenten ist das Ergebnis demnach positiv, bei einem Ungeraden negativ:

$(-3)^{4}=(-3)*(-3)*(-3)*(-3)=81$

Negativer Exponent

Eine Basis mit negativem Exponent ist nichts anderes als 1 dividiert durch die Basis hoch des positiven Exponenten:

$3^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{3*3}}={\frac {1}{9}}$

$(-2)^{-3}={\frac {1}{(-2)^{3}}}=-{\frac {1}{8}}$

Hinweis: Haben wir einen Bruch als Basis können wir die negative Potenz ins positive kehren, indem wir den Bruch umkehren:

$({\frac {2}{x+y}})^{-2}=({\frac {x+y}{2}})^{2}={\frac {(x+y)^{2}}{4}}$

Rationaler Exponent (Exponent = Bruch)

Jetzt zur Königsdisziplin: Was ist, wenn wir als Exponent einen Bruch haben? In dem Fall ist das das gleiche wie die Nenner-Wurzel aus der Basis hoch dem Zähler. Klar soweit:)?

$4^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{4^{2}}}$

Rationale Basis (Basis = Bruch)

Was ist mit einem Bruch als Basis? In dem Fall ist es recht einfach: Sowohl Zähler als auch Nenner werden jeweils potenziert:

$({\frac {2}{3}})^{2}={\frac {2^{2}}{3^{2}}}={\frac {4}{9}}$

Beispiele

Erste Aufgabe

${\frac {4}{(x+y)*(x-y)}}*({\frac {2}{x+y}})^{-2}$

$={\frac {4}{(x+y)*(x-y)}}*({\frac {x+y}{2}})^{2}$

$={\frac {4}{(x+y)*(x-y)}}*{\frac {(x+y)^{2}}{4}}$

$={\frac {4}{(x-y)}}*{\frac {(x+y)}{4}}$

$={\frac {x+y}{(x-y)}}$

Nachschlagewerke

• Potenzgesetze - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=opJDGl_lPVE
• Potenzgesetze - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=DxCG0GcKhCg
• Potenzen und Wurzeln vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=gmNBUYJM42A
• Potenzen mit rationalen Exponenten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=r73k0gX5vBI
• Potenzen mit negativen Exponenten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=tGkfu_xutWs
• Exponentialfunktionen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=KcTj6-HvfbI