Potenzen

Kurze Wiederholung der Potenzen.

Potenzgesetze

Hoch 0

Iwas hoch 0 ist immer 1:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^ 0 = 1}  ; Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5^0 = 1}  ; $1^{0}=1$

Hoch 1

Eine Zahl hoch 1 ist immer die Zahl:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5^1 = 5 ; 3^1 = 3; 1^1 = 1}

Gleiche Basis & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten werden die Exponenten addiert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^x*a^y = a^{x+y}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^4*2^2 = 2^{4+2} = 2^6}

Gleiche Basis & "geteilt"

Gleiches Spiel bei einer Division von gleichen Basen mit verschiedenen Exponenten, diesesmal werden die Exponenten allerdings voneinander subtrahiert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{10^4}{10^2} = 10^{4-2}}

Gleicher Exponent & "mal"

Bei einer Multiplikation von gleichen Exponenten zu verschiedenen Basen können die Basen in einer Klammer als Multiplikation zusammengefasst werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3^4*5^4 = (3*5)^4}

Gleicher Exponent & "geteilt"

Gleiches gilt bei einer Division:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{a^4}{x^4} = (\frac{a}{x})^4}

Potenz von Potenz

Hier gilt es jetzt aufzupassen: Wird direkt die Potenz potenziert oder steht die Basis mit der ersten Potenz in einer Klammer?

Fall 1:

Mit Klammern um Basis und erste Potenz werden die beiden Potenzen miteinander multipliziert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2^3)^4 = 2^{3*4} = 2^{12}}

Fall 2:

Ohne Klammer wird zuerst die erste Potenz mit der Zweiten potenziert und dient dann als Exponent für die Basis:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{3^{4}} = 2^{3*3*3*3} = 2^{81} = Viel:)}

Negative Basis

Jetzt kommt es wieder drauf an: Steht die Basis in einer Klammer oder nicht?

Fall 1:

Ohne Klammern hat nur die Basis (d.h. die erste Zahl der Multiplikationskette) das Minus. Demnach ist das Ergebnis immer negativ:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -3^4 = -3*3*3*3 = -81}

Weil: -3^4 = (-1)*3^4 = (-1)*3*3*3*3 = -81

Fall 2:

Mit Klammern um die Basis wird das Minus in jede Multiplikation mitgezogen. Bei einem geraden Exponenten ist das Ergebnis demnach positiv, bei einem Ungeraden negativ:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3)^4 = (-3)*(-3)*(-3)*(-3) = 81}

Negativer Exponent

Eine Basis mit negativem Exponent ist nichts anderes als 1 dividiert durch die Basis hoch des positiven Exponenten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{3*3} = \frac{1}{9}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}}

Hinweis: Haben wir einen Bruch als Basis können wir die negative Potenz ins positive kehren, indem wir den Bruch umkehren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{2}{x+y})^{-2} = (\frac{x+y}{2})^2 =\frac{(x+y)^2}{4}}

Rationaler Exponent (Exponent = Bruch)

Jetzt zur Königsdisziplin: Was ist, wenn wir als Exponent einen Bruch haben? In dem Fall ist das das gleiche wie die Nenner-Wurzel aus der Basis hoch dem Zähler. Klar soweit:)?

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4^2}}

Rationale Basis (Basis = Bruch)

Was ist mit einem Bruch als Basis? In dem Fall ist es recht einfach: Sowohl Zähler als auch Nenner werden jeweils potenziert:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{2}{3})^2=\frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}}

Beispiele

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4}{(x+y)*(x-y)}*(\frac{2}{x+y})^{-2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{4}{(x+y)*(x-y)}* (\frac{x+y}{2})^{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{4}{(x+y)*(x-y)}* \frac{(x+y)^2}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{4}{(x-y)}* \frac{(x+y)}{4}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{x+y}{(x-y)}}

Nachschlagewerke

• Potenzgesetze - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=opJDGl_lPVE
• Potenzgesetze - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=DxCG0GcKhCg
• Potenzen und Wurzeln vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=gmNBUYJM42A
• Potenzen mit rationalen Exponenten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=r73k0gX5vBI
• Potenzen mit negativen Exponenten - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=tGkfu_xutWs
• Exponentialfunktionen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=KcTj6-HvfbI