Fakultät: Unterschied zwischen den Versionen

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'''55! = 55*54*53*...*2*1 = 55*54! = 55*54*53! = ...'''
'''55! = 55*54*53*...*2*1 = 55*54! = 55*54*53! = ...'''
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==== '''Fakultäten "kürzen"''' ====
==== '''Fakultäten "kürzen"''' ====
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Und insbesondere bei Brüchen nicht vergessen: '''Aus Summen kürzen nur die Dummen!'''
Und insbesondere bei Brüchen nicht vergessen: '''Aus Summen kürzen nur die Dummen!'''
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==== '''Von Fakultäten und Variablen''' ====
==== '''Von Fakultäten und Variablen''' ====
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<math>\frac{ (n+1)!}{n!}</math>
<math>\frac{ (n+1)!}{n!}</math>


Okaaaaaay, keine Panik! Zuerst mal sollten wir klären, was (n+1)! überhaupt bedeutet.
Okaaaaaay, keine Panik! Zuerst sollten wir mal klären, was (n+1)! überhaupt bedeutet.


Wie üblich ist auch diese '''Fakultät eine Abfolge von Multiplikationen'''. Da wir nicht wissen, was n genau ist müssen wir uns mit der Zahl dahinter begnügen:
Wie üblich ist auch diese '''Fakultät eine Abfolge von Multiplikationen'''. Da wir nicht wissen, was n genau ist müssen wir uns mit der Zahl dahinter begnügen:
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Daraus folgt:
Daraus folgt:


<math>\frac{ (n+1)* n!}{n!} = n+1</math>
<math>=\frac{ (n+1)* n!}{n!} = n+1</math>
 
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==== '''Was man NICHT tun darf''' ====
==== '''Was man NICHT tun darf''' ====
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== '''Beispielaufgaben''' ==
== '''Beispielaufgaben''' ==
'''<u>Erste Aufgabe</u>'''
<math>\frac{ (n+2)!* n}{(n+1)!}</math>
Also das Übliche: Erstmal aus der größten Fakultät etwas ausklammern:
<math>= \frac{ (n+2)*(n+1)!* n}{(n+1)!}</math>
Jetzt kann man schon die (n+1)! gegeneinander kürzen:
<math>= (n+2) * n</math> -> Und weil wir so fleißig sind multiplizieren wir das noch aus:
<math>= n^2 +  2n</math>
'''<u>Zweite Aufgabe</u>'''
<math>\frac{43!}{41!+42!}</math>
Man könnte jetzt die Fakultäten ausrechnen. Aber warum uns mit absurd großen Zahlen herumschlagen, wenn wir es auch einfacher haben können:
<math>= \frac{ 43*42*41!}{41!+42!}</math>
Leider verhindert das "+" im Nenner jetzt, das wir kürzen können. Aber wenn man schon nicht kürzen kann, dann doch zumindest ausklammern:
<math>= \frac{ 43*42*41!}{ 1*41!+ 42*41!}</math>
<math>= \frac{ 43*42*41!}{41!*(1+42)}</math>
<math>= \frac{ 43*42*41!}{41!*43}</math>
Jetzt können wir kürzen:D
<math>=42</math>
Und damit haben wir sowohl die Lösung als auch die ganze Wahrheit und die Antwort auf alles gefunden:).


== '''Nachschlagewerke''' ==
== '''Nachschlagewerke''' ==

Version vom 29. September 2024, 20:53 Uhr

Was waren nochmal Fakultäten?

Die Kurzfassung:

Eine Fakultät wird als Ausrufezeichen hinter die entsprechende Zahl geschrieben (z. B. 2!, 5!, 100!, n!, etc.) und bedeutet, dass diese Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen bis hinunter zur 1 multipliziert wird.

Also:

2! = 2*1

6! = 6*5*4*3*2*1

50! = 50*49*48*47*46*...*2*1

Merken!

Wichtige Gesetze dazu:

1! = 1

0! = 1

Rechenregeln

Fakultäten vergrößern und verkleinern

Da wir wissen, dass eine Fakultät eine Serie aus Multiplikationen von aufeinander folgenden ist, können wir damit ein bisschen spielen:

Wir erinnern uns:

5! = 5*4*3*2*1

Also ist:

6*5! = 6!

Andersherum funktioniert das aber auch:

55! = 55*54*53*...*2*1 = 55*54! = 55*54*53! = ...

.

Fakultäten "kürzen"

Da bspw. gilt das 6! = 6*5! kann man Fakultäten auch gegeneinander "kürzen":

Hier gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{ (Zahl+1)!}{Zahl!}= (Zahl+1)}

Das Ganze ist einfacher, wenn man sich vor Augen führt, dass Fakultäten "nur" eine Reihe von Produkten sind.

Und insbesondere bei Brüchen nicht vergessen: Aus Summen kürzen nur die Dummen!

.

Von Fakultäten und Variablen

Wagen wir mal etwas Interessanteres:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{ (n+1)!}{n!}}

Okaaaaaay, keine Panik! Zuerst sollten wir mal klären, was (n+1)! überhaupt bedeutet.

Wie üblich ist auch diese Fakultät eine Abfolge von Multiplikationen. Da wir nicht wissen, was n genau ist müssen wir uns mit der Zahl dahinter begnügen:

(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*1 -> Wir nehmen also den Ausgangswert und ziehen dann von n immer weiter 1 ab

Theoretisch ist diese Fakultät also unendlich lang und damit nicht eindeutig zu berechnen. Das muss man allerdings auch gar nicht.

Um nochmal auf die Aufgabe oben zurückzukommen: Bei Fakultäten ist ja ausklammern die Devise und zwar bei der jeweils größten Fakultät. Hier also die im Zähler:

(n+1)! = (n+1)*n*(n-1)*(n-2)*...*1 = (n+1) * n!

Daraus folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\frac{ (n+1)* n!}{n!} = n+1}

.

Was man NICHT tun darf

Da Fakultäten ganze Zahlenabfolgen sind kann man mit ihnen natürlich nicht einfach so rechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6+5! \neq 30!}

.

Sind Klammern im Spiel ist Vorsicht angesagt: Es kommt darauf an, wo das Fakultätszeichen steht!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{ (2+6)!}{6!}\neq2!}

.

Auch die direkte Addition oder Subtraktion von Fakultäten ist ne blöde Idee:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4!+5! \neq 9!}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 7!-2! \neq 5!}

In solchen Fällen (wenn man nichts mehr ausklammern oder kürzen kann) ist es effektiver die Fakultät auszurechnen und dann die Berechnung durchzuführen.

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{ (n+2)!* n}{(n+1)!}}

Also das Übliche: Erstmal aus der größten Fakultät etwas ausklammern:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{ (n+2)*(n+1)!* n}{(n+1)!}}

Jetzt kann man schon die (n+1)! gegeneinander kürzen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (n+2) * n} -> Und weil wir so fleißig sind multiplizieren wir das noch aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = n^2 + 2n}

Zweite Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{43!}{41!+42!}}

Man könnte jetzt die Fakultäten ausrechnen. Aber warum uns mit absurd großen Zahlen herumschlagen, wenn wir es auch einfacher haben können:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{ 43*42*41!}{41!+42!}}

Leider verhindert das "+" im Nenner jetzt, das wir kürzen können. Aber wenn man schon nicht kürzen kann, dann doch zumindest ausklammern:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{ 43*42*41!}{ 1*41!+ 42*41!}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{ 43*42*41!}{41!*(1+42)}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{ 43*42*41!}{41!*43}}

Jetzt können wir kürzen:D

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =42}

Und damit haben wir sowohl die Lösung als auch die ganze Wahrheit und die Antwort auf alles gefunden:).

Nachschlagewerke

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