Binomialkoeffizienten

Was sind Binomialkoeffizienten?

Vereinfacht gesagt: Mit denen lässt sich berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt aus einer gegebenen Menge von Objekten (nennen wir mal "n") eine gegebene Anzahl von Objekten (nennen wir "k") zu ziehen (ohne zurücklegen).

Sieht dann so aus:

${\binom {n}{k}}$

(Gesprochen: n über k)

Und so wird's berechnet:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!*(n-k)!}}$

Sieht erst mal kompliziert aus, ist es aber gar nicht mal.

Wichtige Regeln

Fangen wir mit dem Wichtigsten an: Welche Gesetze/Regeln gibt es bei der Berechnung und wie erleichtern sie uns das Leben?

Zuerst mal: Eine beliebige Zahl über der 0 oder eine Zahl über sich selbst (meint: n=k) ergibt immer 1:

${\binom {n}{0}}=1$

${\binom {n}{n}}=1$

Eine beliebige Zahl über 1 ergibt immer die Zahl:

${\binom {n}{1}}=n$

Last but not least: Eine beliebige Zahl über 2 stellt die Berechnungsformel etwas um:

${\binom {n}{2}}={\frac {n*(n+1)}{2}}$

Das sind auch schon die Wichtigsten Gesetze zum Binomialkoeffizienten.

Allgemeines

Hat man eine beliebige Aufgabe zum Binomialkoeffizienten gilt es erstmal die Formel von oben anzuwenden:

${\binom {49}{6}}={\frac {49!}{6!*(49-6)!}}={\frac {49!}{6!*43!}}$

Es wäre jetzt natürlich völlig hirnrissig die Fakultäten aufzulösen und drauflos zu rechnen. Aber die Formel ist so gestaltet, dass man angenehm leicht kürzen kann.

Wenden wir doch erst mal ein paar Fakultätsregeln an:

$={\frac {49*48*47*46*45*44*43!}{6!*43!}}={\frac {49*48*47*46*45*44}{6*5*4*3*2*1}}$

Jetzt können wir sogar noch weiter kürzen:

Wir kürzen 45 mit 5 und die resultierende 9 im Zähler mit 3 zu 3;

Wir kürzen 48 mit 6 und die resultierende 8 im Zähler mit 4 zu 2;

und wir kürzen 44 mit 4 zu 11.

Das ergibt dann:

$={\frac {49*2*47*46*3*11}{1}}=49*2*47*46*3*11$

Das ergibt dann:

$=13.986.816$

Aufgabe gelöst:) Und was lernen wir daraus: Kein Lotto spielen!

Nachschlagewerke

• Binomialkoeffizient - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=QAaeSC3hItw
• Binomialkoeffizient mit dem Pascalschen Dreieck - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=QQa2aoTD3d0
• Hohe Potenzen auflösen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=WXtO2S_mq80