Kurvendiskussion

Eine (hoffentlich) vollständige Übersicht über die Kurvendiskussion.

Hierbei gilt es die Eigenschaften einer Funktion (Extremstellen, Nullstellen, Wende- und Sattelstellen, Monotonie, Asymptoten, etc.) herauszufinden und die Funktion dann zumindest grob zu zeichnen.

Wahrscheinlich wird im BWL-Studium keine vollständige Kurvendiskussion gefragt sein, aber man kann ja nie wissen.

Das Ganze findet in 11 oder - je nach Funktion - 12 Schritten statt:

1. Definitionsmenge bestimmen
2. Nullstellen
3. Schnittpunkt mit der y-Achse
4. Symmetrie
5. (Asymptoten)
6. Grenzverhalten
7. Extrempunkte
8. Wendepunkte
9. Graphen zeichnen
10. Monotonie
11. Krümmung
12. Wertemenge

Let's get going:

Definitionsmenge bestimmen

Das ist relativ einfach:

Wenn es in der Funktion keine Brüche mit Variable im Nenner, keine Wurzel aus einer Variable oder andere unschöne Sachen gibt besteht die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen.

D = IR

Ansonsten muss man bedenken:

• Keine 0 im Nenner eines Bruchs (durch 0 teilen ist pfui!)
• Keine negativen Zahlen in einer Wurzel (nicht definiert)
• Keine negativen Zahlen in einem Logarithmus (nicht definiert)

Gibt es derlei unschöne Sachen muss man das in der Definitionsmenge vermerken.

Beispiel:

$f(x)={\frac {x^{2}+2x-5}{x+3}}$

Wenn x = -3 wäre käme 0 heraus.

Also lautet die Definitionsmenge:

D = IR \ {-3}

Nullstellen

Einfach die Funktion = 0 setzen und mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel/abc-Formel, Polynomdivision/Horner-Schema o. ä. ausrechnen. Je nachdem.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Einfach in die Funktion für x null einsetzen und ausrechnen.

Symmetrie

Hier kommt es jetzt drauf an: Ist die Funktion...

...achsensymmetrisch, d.h. ob rechts und links von der y-Achse in etwa das Gleiche passiert (siehe Parabeln),...

...punktsymmetrisch, d.h. ist er zum Ursprung symmetrisch,...

oder keins von beidem.

Hier kommen die Hochzeichen der Variablen (inkl. x^0 bei Konstanten) zum Einsatz:

Sind alle Exponenten gerade, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Sind alle Exponenten ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch.

Sind die Exponenten gemischt (mal gerade, mal ungerade) ist die Funktion nicht symmetrisch.

Hat die Funktion lediglich eine Nullstelle ist sie ebenfalls nicht symmetrisch.

Extrempunkte

Jetzt brauchen wir die erste und die zweite Ableitung der Funktion.

Wir setzen die erste Ableitung = 0 und setzen die Ergebnisse (=Kandidaten für Extrempunkte) in die zweite Ableitung ein:

Ist das Ergebnis < 0 handelt es sich um einen Hochpunkt.

Ist es > 0 um einen Tiefpunkt.

Wendepunkte

Gleiches Spiel wie bei den Extrempunkten, nur mit der 2. Ableitung gleich null und zur Kontrolle einsetzen in die 3. Ableitung.

Nachschlagewerke

• Kurvendiskussion - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt
• Extremstellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40
• Wendestellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=gv7Z5qT2Occ
• Sattelpunkte - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=L77xaGpdWEU