Kurvendiskussion

Eine (hoffentlich) vollständige Übersicht über die Kurvendiskussion.

Hierbei gilt es die Eigenschaften einer Funktion (Extremstellen, Nullstellen, Wende- und Sattelstellen, Monotonie, Asymptoten, etc.) herauszufinden und die Funktion dann zumindest grob zu zeichnen.

Wahrscheinlich wird im BWL-Studium keine vollständige Kurvendiskussion gefragt sein, aber man kann ja nie wissen.

Das Ganze findet in 11 oder - je nach Funktion - 12 Schritten statt:

1. Definitionsmenge bestimmen
2. Nullstellen
3. Schnittpunkt mit der y-Achse
4. Symmetrie
5. (Asymptoten)
6. Grenzverhalten
7. Extrempunkte
8. Wendepunkte
9. Graphen zeichnen
10. Monotonie
11. Krümmung
12. Wertemenge

Let's get going:

Definitionsmenge bestimmen

Das ist relativ einfach:

Wenn es in der Funktion keine Brüche mit Variable im Nenner, keine Wurzel aus einer Variable oder andere unschöne Sachen gibt besteht die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen:

D = IR

Ansonsten muss man bedenken:

• Keine 0 im Nenner eines Bruchs (durch 0 teilen ist pfui!)
• Keine negativen Zahlen in einer Wurzel (nicht definiert)
• Keine negativen Zahlen und keine 0 in einem Logarithmus (nicht definiert)

Gibt es derlei unschöne Sachen muss man das in der Definitionsmenge vermerken.

Beispiel:

$f(x)={\frac {x^{2}+2x-5}{x+3}}$

Wenn x = -3 wäre käme 0 heraus.

Also lautet die Definitionsmenge:

D = IR \ {-3}

Wenn man einen ganzen x-Bereich auschließen möchte kann man die folgende Schreibweise verwenden:

Beispielfunktion:

$y={\sqrt {{\sqrt {x}}-2}}$

Da man keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen kann muss x logischerweise mindestens 4 sein (weil ${\sqrt {4}}=2$; 2 - 2 = 0). Dementsprechend lautet die Definitionsmenge:

D = I$R^{\geq 4}$

Nullstellen

Einfach die Funktion = 0 setzen und mit dem Satz vom Nullprodukt, pq-Formel/abc-Formel, Polynomdivision/Horner-Schema o. ä. ausrechnen. Je nachdem.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Einfach in die Funktion für x null einsetzen und ausrechnen.

Symmetrie

Hier kommt es jetzt drauf an: Ist die Funktion...

...achsensymmetrisch, d.h. ob rechts und links von der y-Achse in etwa das Gleiche passiert (siehe Parabeln),...

...punktsymmetrisch, d.h. ist er zum Ursprung symmetrisch,...

oder keins von beidem.

Hier kommen die Hochzeichen der Variablen (inkl. x^0 bei Konstanten) zum Einsatz:

Sind alle Exponenten gerade, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Sind alle Exponenten ungerade ist die Funktion punktsymmetrisch.

Sind die Exponenten gemischt (mal gerade, mal ungerade) ist die Funktion nicht symmetrisch.

Hat die Funktion lediglich eine Nullstelle ist sie ebenfalls nicht symmetrisch.

Extrempunkte

X-Koordinaten

Jetzt brauchen wir die erste und die zweite Ableitung der Funktion.

Wir setzen die erste Ableitung = 0 und setzen die Ergebnisse (=Kandidaten für Extrempunkte) in die zweite Ableitung ein:

Ist das Ergebnis < 0 handelt es sich um eine Hochstelle.

Ist es > 0 um eine Tiefstelle.

Ist das Ergebnis des Einsetzens jedoch exakt = 0 kann keine Aussage zu den Extrempunkt-Kandidaten getroffen werden. In diesem Fall müssen wir die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel untersuchen.

Dabei suchen wir uns einen Punkt links und einen Punkt rechts des Kandidaten auf der x-Achse (Achtung: Auf keinen Fall andere Kandidaten nehmen oder diese überschreiten!). Diese Punkte setzen wir jeweils in die erste Ableitung ein und rechnen.

Ist das Ergebnis des Punktes links von dem Kandidaten positiv und das des Punktes rechts von dem Kandidaten negativ handelt es sich bei dem Kandidaten um einen Hochpunkt.

Im gegenteiligen Fall (links negativ, rechts positiv) ist es ein Tiefpunkt.

Findet kein Vorzeichenwechsel statt ist der Kandidat kein Extrempunkt.

Y-Koordinaten

Um daraus jetzt richtige Punkte zu machen (meint: Die passende y-Koordinate zu bestimmen) setzen wir diesen Wert jetzt in die ursprüngliche Funktion ein.

Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Schon haben wir die Extrempunkte:)

P.S.: Ggf. sollte man einen Bruch, wenn er als Koordinate vorkommt, in Dezimalschreibweise umschreiben. Ist deutlich einfacher zu zeichnen.

Wendepunkte

Gleiches Spiel wie bei den Extrempunkten, nur mit der 2. Ableitung gleich null und zur Kontrolle einsetzen in die 3. Ableitung.

Anschließend die Ergebnisse für die y-Koordinate in die originale Funktion einsetzen.

Graphen zeichnen

Mit Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkten eigentlich recht simpel.

Monotonie

Wichtig: Erst die Extrempunkte bestimmen (und idealerweise auch erst die Funktion zeichnen).

Jetzt gilt es die Intervalle zwischen den Extrempunkten zu bestimmen. Am Besten wandert man hierzu von links nach rechts am Graphen entlang und benutzt die Extrempunkte als "Stopper".

In der Praxis teilen wir die Funktion (bzw. die x-Werte des Koordinatensystems) in mehrere Intervalle auf, deren Grenzen von den Unendlichkeiten und den x-Werten der Extrempunkte bestimmt werden.

Nehmen wir doch mal ein Beispiel:

Nachschlagewerke

• Kurvendiskussion - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=0F0CeyAbpmA&list=PLF29x0idI4lVpHeeQJL4HO7gnUkiOZ-nt
• Extremstellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=XzUYwFMXB40
• Wendestellen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=gv7Z5qT2Occ
• Sattelpunkte - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=L77xaGpdWEU