Regula Falsi

Was ist eigentlich das Regula Falsi Verfahren?

Allgemeine Erklärung

Vorweg: Mit dem Regula Falsi Verfahren werden Nullstellen (zumindest näherungsweise) rechnerisch bestimmt.

Dabei werden 2 anfängliche x-Stellen in eine bestimmte Formel (unten) eingesetzt und das Ergebnis daraus dann in die ursprüngliche Funktion.

Das Ergebnis hieraus gibt genauere Auskunft darüber, in welcher Richtung im Intervall (eher bei Stelle 1 oder eher bei Stelle 2) die Nullstelle liegt. So kann man das Intervall, in dem die Nullstelle liegt, eingrenzen.

Mit dem auf diese Art neu bestimmten Punkt (und einem der Alten) wiederholt man dann das Verfahren so lange bis man mit der Annäherung an die Nullstelle zufrieden ist.

Praxis

Voraussetzungen

Damit eine Funktion in einem Intervall überhaupt eine Nullstelle haben kann müssen 2 Bedingungen erfüllt sein:

1. Die Funktion muss in dem Intervall stetig sein.
2. Die Funktion muss in dem Intervall mit ihren y-Werten einen Vorzeichenwechsel durchführen (egal in welche Richtung).

Meistens wird in Aufgaben zu diesem Verfahren ein Intervall vorgegeben. Sollte das nicht der Fall sein muss man sich selbst 2 (mögliche) Werte heraussuchen. Das Thema Stetigkeit kann man meistens an der Funktion selbst ablesen (x, x^2, x^3, usw. sind wegen ihrer Struktur per Definition stetig).

Den Vorzeichenwechsel kann man überprüfen, indem man die x-Werte in die Funktion einsetzt. Haben die Ergebnisse unterschiedliche Vorzeichen ist alles perfekt.

Erfüllt die Funktion diese Voraussetzungen ist auf jeden Fall eine Nullstelle in dem Intervall vorhanden. Mit dem Regula Falsi Verfahren kann man diese nun bestimmen.

Durchführung

Eine mögliche Aufgabe zu diesem Verfahren könnte lauten:

Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^{2}-2x+2$ Bestimmen Sie im Intervall $x\epsilon [-2,0]$ die Nullstelle mithilfe des Regula Falsi-Verfahrens.

Für dieses Verfahren braucht man auf jeden Fall 2 Punkte - einen links und einen rechts von der vermuteten Nullstelle - nehmen wir doch einfach mal die Grenzen des gegebenen Intervalls. Der Übersicht halber nennen wir sie einfach mal a und b:

$a_{0}=-2$

$b_{0}=0$

In die Funktion eingesetzt ergeben sie:

$f(-2)=-8+4+2=-2$

$f(0)=0-0+2=2$

Im Regula Falsi-Verfahren baut man sich zur Übersicht meistens eine Tabelle, die ungefähr so aussieht:

n	a_n	x_n	b_n	f(a_n)	f(x_n)	f(b_n)
0	-2		0	-2		2

In dieser Tabelle (und sonst auch) gilt:

n = Die Anzahl des aktuellen Durchlaufs (ja, das werden Mehrere). Da wir hier noch mit den Anfangswerten arbeiten ist das hier "nullte" Durchlauf.

a_n, x_n, b_n, etc. = $a_{n},x_{n},b_{n},$ etc. - ich kann in der Tabelle keinen Mathe-Syntax verwenden:(

Nachschlagewerke

• Regula Falsi Verfahren - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=qCpcUS3N51I
• Regula Falsi Verfahren - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=EhL77MutTu0