Zahlenmengen

Natürliche Zahlen

Natürliche Zahlen beinhalten alle positiven, ganzen Zahlen,

Übersicht der Zahlenmengen.

KEINE negativen Zahlen, Brüche oder Kommazahlen.

$N={1,2,3,4,...}$

Die Null ist standardmäßig nicht mit drin, kann es aber sein. In solchen Fällen wird das noch gekennzeichnet:

$N_{0}={0,1,2,3,4,...}$

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen beinhalten alle positiven und negativen Zahlen, aber auch hier wieder keine Brüche oder Kommazahlen.

Anders als bei den natürlichen Zahlen ist hier die Null immer mit dabei!

$Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}$

Rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen beinhalten fast alle bekannten Zahlen, alle ganzen Zahlen inklusive Brüche und Kommazahlen.

IQ = { "ganze Zahlen + Bruchzahlen" }

Irrationale Zahlen

Irrationale Zahlen sind Zahlen mit unendlich vielen, nicht-periodischen (also scheinbar zufälligen) Nachkommastellen.

Beispiele hierfür sind Pi, e oder die Ergebnisse von Wurzelrechnungen aus Primzahlen.

I = { "rationale Zahlen + e, Pi, Wurzel 2, usw." }

Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar!

Reelle Zahlen

Die Reellen Zahlen sind die Kombination aus rationalen und irrationalen Zahlen.

IR = { "rationale Zahlen + irrationale Zahlen" }

Dieser Zahlenraum kann alle "echten" Zahlen darstellen und ist Teilmenge der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen

Unser Lieblings-Wirklichkeitsüberbieter Leonhard Euler hatte während seiner Laufbahn ja so einige Ideen. Unter anderem wie man ein Problem wie dieses hier lösen kann:

Problem:

$X^{2}+1=0$

$X^{2}+1=0|-1$

$x^{2}=1|\surd$

$x=\surd -1|:($

Für negative Wurzeln gibt es bekanntlich keine Lösung ...eigentlich. Denn Herr Euler hatte hierfür eine pfiffige Idee: Er dachte sich eine imaginäre Zahl i aus und definierte Folgendes:

$\surd -1:=i$

(i = Wurzel aus 1)

Mit i kann man nun weiterrechnen, also es zum Beispiel potenzieren, die Wurzel daraus ziehen, etc..

Wenn man die obere Definition weiterverwendet kann beispielsweise Folgendes passieren:

$i^{2}=-1$

$i^{3}=i*i^{2}=i*(-1)=-i$

$i^{4}=i^{2}*i^{2}=(-1)*(-1)=1$

Man kann auch teilen:

${1 \over i}={i^{4} \over i}=i^{3}=-1$

Und so weiter...

Wichtig ist:

1.: $\surd -1:=i$ - | i = Wurzel aus -1

2.: Jede komplexe Zahl c besteht aus einem Realteil a und einem Imaginärteil (i*)b:

$c=a+i*b$

Beide Teile können aber null sein.

3.: Man kann komplexe Zahlen grafisch darstellen.

4.: Der Betrag von komplexen Zahlen wird wie bei Vektoren berechnet:

$c=a+i*b$

$\left\vert c\right\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

5.: Ersetzt man in der Funktion alle i durch -i hat man das komplex konjugierte:

Komplexe Konjugation:

$c=a+i*b$

$c_{k}onjugiert=a-i*b$