Zinsberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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Auf wieviel wachsen '''5000 Euro''' bei einem Zinssatz von '''6 Prozent''' und einer Laufzeit von '''dreieinhalb Jahren''' an? | Auf wieviel wachsen '''5000 Euro''' bei einem Zinssatz von '''6 Prozent''' und einer Laufzeit von '''dreieinhalb Jahren''' an? | ||
<math> | <math>K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375</math> | ||
'''A: Auf | '''A: Auf 18.375 Euro.''' | ||
===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ||
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== '''Exponentielle Verzinsung''' == | == '''Exponentielle Verzinsung''' == | ||
Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung '''mit''' Zinseszins. | |||
===== '''Normalform''' ===== | |||
Basisformel: <math>K_t = (1+r)^t * K_0</math> | |||
'''Beispiel:''' | |||
Auf wieviel wachsen '''5000 Euro''' bei einem Zinssatz von '''5 Prozent''' und einer Laufzeit von '''eineinhalb Jahren''' an? | |||
<math>K_{1,5} = (1+,05)^{1,5} *5000 =5379,65</math> | |||
'''A: Auf 5379,65 Euro''' | |||
===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | |||
Beispiel: Aus '''8000 Euro''' werden '''in 3 Jahren''' '''9261,32 Euro'''. Wie hoch ist der Zinssatz? | |||
In die Formel eingesetzt: <math>9261,32 = (1+r)^3 * 8000</math> | |||
Also wieder umstellen: | |||
<math>9261,32 = (1+r)^3 * 8000</math> | :8000 | |||
<math>\frac{9261,32}{8000} = (1+r)^3 |\sqrt[3]{}</math> | |||
<math>\sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} = (1+r)</math> | -1 | |||
<math>\sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} -1 = r = \sqrt[3]{1,15774} -1 = 0,05 = 5%</math> | |||
'''Die umgestellte Formel lautet also:''' | |||
<math>r= \sqrt[t]{\frac{K_t}{K_0}} -1</math> | |||
== '''Unterjährige Verzinsung''' == | == '''Unterjährige Verzinsung''' == | ||
Version vom 30. November 2024, 19:18 Uhr
Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?
Grundlegende Variablen
Starten wir mit dem Handwerkszeug:
K0 = Anfangskapital
t = Laufzeit (in Jahren)
Kt = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).
r = Zinssatz (in Prozent)
Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.
Einfache Verzinsung
Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.
Normalform
Grundlegende Berechnungsformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = K_0+r*t*K_0}
Alternativ: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+r*t)*K_0}
Beispielaufgabe:
Auf wieviel wachsen 5000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375}
A: Auf 18.375 Euro.
Umstellung nach Zinssatz
Wenn man den Zinssatz berechnen soll.
Beispiel: Aus 3000 Euro werden in 3 Jahren 4150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000}
Jetzt heißt es nach r umstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000} | :3000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4150}{3000} = (1+r*3)} | -1
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4150}{3000} -1 = r*3} | :3 / *1/3
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*(\frac{4150}{3000}-1) = r = 0,1278 = 12,78% }
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{1}{t}* (\frac{K_t}{K_0}-1) }
Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{K_t-K_0}{K_0*t} }
Beweis gefällig?:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{4150-3000}{3000*3} = \frac{1150}{9000} = 0,127777=12,78% }
Exponentielle Verzinsung
Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.
Normalform
Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = (1+r)^t * K_0}
Beispiel:
Auf wieviel wachsen 5000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{1,5} = (1+,05)^{1,5} *5000 =5379,65}
A: Auf 5379,65 Euro
Umstellung nach Zinssatz
Beispiel: Aus 8000 Euro werden in 3 Jahren 9261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9261,32 = (1+r)^3 * 8000}
Also wieder umstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9261,32 = (1+r)^3 * 8000} | :8000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{9261,32}{8000} = (1+r)^3 |\sqrt[3]{}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} = (1+r)} | -1
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} -1 = r = \sqrt[3]{1,15774} -1 = 0,05 = 5%}
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r= \sqrt[t]{\frac{K_t}{K_0}} -1}
