Zinsberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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'''<u>Beispielaufgabe:</u>''' | '''<u>Beispielaufgabe:</u>''' | ||
Auf wieviel wachsen ''' | Auf wieviel wachsen '''5.000 Euro''' bei einem Zinssatz von '''6 Prozent''' und einer Laufzeit von '''dreieinhalb Jahren''' an? | ||
<math>K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375</math> | <math>K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375</math> | ||
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Wenn man den Zinssatz berechnen soll. | Wenn man den Zinssatz berechnen soll. | ||
Beispiel: Aus ''' | Beispiel: Aus '''3.000 Euro''' werden '''in 3 Jahren''' '''4.150 Euro'''. Wie hoch ist der Zinssatz? | ||
In die Formel eingesetzt: <math>4150 = (1+r*3)*3000</math> | In die Formel eingesetzt: <math>4150 = (1+r*3)*3000</math> | ||
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'''Beispiel:''' | '''Beispiel:''' | ||
Auf wieviel wachsen ''' | Auf wieviel wachsen '''5.000 Euro''' bei einem Zinssatz von '''5 Prozent''' und einer Laufzeit von '''eineinhalb Jahren''' an? | ||
<math>K_{1,5} = (1+,05)^{1,5} *5000 =5379,65</math> | <math>K_{1,5} = (1+,05)^{1,5} *5000 =5379,65</math> | ||
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===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ||
Beispiel: Aus ''' | Beispiel: Aus '''8.000 Euro''' werden '''in 3 Jahren''' '''9.261,32 Euro'''. Wie hoch ist der Zinssatz? | ||
In die Formel eingesetzt: <math>9261,32 = (1+r)^3 * 8000</math> | In die Formel eingesetzt: <math>9261,32 = (1+r)^3 * 8000</math> | ||
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===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | ||
Beispiel: Aus ''' | Beispiel: Aus '''5.000 Euro''' werden '''nach 3 Jahren''' bei '''vierteljährlicher Verzinsung''' '''5.960,50 Euro'''. Wie hoch ist der Zinssatz? | ||
In die Formel eingesetzt: <math>5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000</math> | In die Formel eingesetzt: <math>5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000</math> | ||
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== '''Stetige Verzinsung''' == | == '''Stetige Verzinsung''' == | ||
Last but not least, die stetige Verzinsung: Hier werden fortlaufend (zu jedem Zeitpunkt) Zinsen berechnet und hinzuaddiert, weshalb das Ganze eher ein Modell als ein praktisches Konzept ist. | |||
Keine neuen Variablen dieses Mal, e ist die gute alte Eulersche Zahl:) | |||
===== '''Normalform''' ===== | |||
Basisformel: <math>K_t = K_0 * e^{r*t}</math> | |||
'''Beispiel:''' | |||
'''10.000''' Euro werden mit '''5 Prozent''' für '''3 Jahre stetig''' verzinst. '''Wie hoch ist das Endkapital?''' | |||
<math>K_3= 10000 * e^{0,05*3} = 10000 * 1,161834 \approx11618,34</math> | |||
'''A: 11618,34 Euro''' | |||
===== '''Umstellung nach Zinssatz''' ===== | |||
Beispiel: Aus '''8.000 Euro''' werden '''nach 2 Jahren''' bei '''stetiger Verzinsung''' '''8.664,32 Euro'''. Wie hoch ist der Zinssatz? | |||
Noch eine Umstellung: | |||
<math>8664,32 = 8000*e^{r*2}</math> | :8000 | |||
<math>\frac{8664,32}{8000} = e^{r*2}</math> | ln | |||
<math>\ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r*2</math> | :2 / *1/2 | |||
<math>\frac{1}{2}*\ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r = \frac{\ln{(1,08304)}}{2} = \frac{0,079804}{2} = 0,039902 \approx 0,04 = 4%</math> | |||
===== '''Die umgestellte Formel lautet also:''' ===== | |||
<math>r = \frac{\ln{(\frac{K_t}{K_0})}}{t}</math> | |||
== '''Zinssatz-"Transformation"''' == | == '''Zinssatz-"Transformation"''' == | ||
Version vom 30. November 2024, 22:33 Uhr
Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?
Grundlegende Variablen
Starten wir mit dem Handwerkszeug:
K0 = Anfangskapital
t = Laufzeit (in Jahren)
Kt = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).
r = Zinssatz (in Prozent)
Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.
Einfache Verzinsung
Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.
Normalform
Grundlegende Berechnungsformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = K_0+r*t*K_0}
Alternativ: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+r*t)*K_0}
Beispielaufgabe:
Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{3,5} = (1+5%*3,5) * 5000 = (1+0,05*3,5)*5000 = 18375}
A: Auf 18.375 Euro.
Umstellung nach Zinssatz
Wenn man den Zinssatz berechnen soll.
Beispiel: Aus 3.000 Euro werden in 3 Jahren 4.150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000}
Jetzt heißt es nach r umstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4150 = (1+r*3)*3000} | :3000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{4150}{3000} = (1+r*3)} | -1
| :3 / *1/3
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{3}*(\frac{4150}{3000}-1) = r = 0,1278 = 12,78% }
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{1}{t}* (\frac{K_t}{K_0}-1) }
Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=\frac{K_t-K_0}{K_0*t} }
Beweis gefällig?:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{4150-3000}{3000*3} = \frac{1150}{9000} = 0,127777=12,78% }
Exponentielle Verzinsung
Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.
Normalform
Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = (1+r)^t * K_0}
Beispiel:
Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{1,5} = (1+,05)^{1,5} *5000 =5379,65}
A: Auf 5379,65 Euro.
Umstellung nach Zinssatz
Beispiel: Aus 8.000 Euro werden in 3 Jahren 9.261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9261,32 = (1+r)^3 * 8000}
Also wieder umstellen:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 9261,32 = (1+r)^3 * 8000} | :8000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{9261,32}{8000} = (1+r)^3 |\sqrt[3]{}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} = (1+r)} | -1
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[3]{\frac{9261,32}{8000}} -1 = r = \sqrt[3]{1,15774} -1 = 0,05 = 5%}
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r= \sqrt[t]{\frac{K_t}{K_0}} -1}
Unterjährige Verzinsung
Exponentielle Verzinsung, nur mit mehreren Auszahlungen pro Jahr.
Hier kommt - wie schon angedroht - eine neue Variable ins Spiel:
m = Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr (z. B. m=2 für halbjährlich, m=4 für vierteljährlich, m=12 für monatlich)
Normalform
Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t=(1+\frac{r}{m})^{m*t}*K_0}
Beispiel:
10.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 6 Prozent für 2 Jahre angelegt, wobei die Zinsen monatlich berechnet werden. Wie hoch ist das Endkapital?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_2= (1+\frac{0,06}{12})^{2*12}*10000 = (1+0,005)^{24} * 10000 = 1,12749*10000 =11274,90}
A: 11274,90 Euro
Umstellung nach Zinssatz
Beispiel: Aus 5.000 Euro werden nach 3 Jahren bei vierteljährlicher Verzinsung 5.960,50 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
In die Formel eingesetzt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000}
Umstellung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5960,50 = (1+\frac{r}{4})^{4*3}*5000} | :5000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{5960,50}{5000} = (1+\frac{r}{4})^{12} |\sqrt[12]{}}
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}} = 1+\frac{r}{4}} | -1
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}}-1 =\frac{r}{4}} | *4
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4* (\sqrt[12]{\frac{5960,50}{5000}} -1) = r = 4*(\sqrt[12]{1,1921}-1)\approx 4*(1,01468-1) = 4*0,01468=0,05872=5,87%}
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = m* (\sqrt[m*t]{\frac{K_t}{K_0}}-1)}
Alternativ funktioniert auch:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = m* \sqrt[m*t]{\frac{K_t}{K_0}} -m}
Stetige Verzinsung
Last but not least, die stetige Verzinsung: Hier werden fortlaufend (zu jedem Zeitpunkt) Zinsen berechnet und hinzuaddiert, weshalb das Ganze eher ein Modell als ein praktisches Konzept ist.
Keine neuen Variablen dieses Mal, e ist die gute alte Eulersche Zahl:)
Normalform
Basisformel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_t = K_0 * e^{r*t}}
Beispiel:
10.000 Euro werden mit 5 Prozent für 3 Jahre stetig verzinst. Wie hoch ist das Endkapital?
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_3= 10000 * e^{0,05*3} = 10000 * 1,161834 \approx11618,34}
A: 11618,34 Euro
Umstellung nach Zinssatz
Beispiel: Aus 8.000 Euro werden nach 2 Jahren bei stetiger Verzinsung 8.664,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?
Noch eine Umstellung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8664,32 = 8000*e^{r*2}} | :8000
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{8664,32}{8000} = e^{r*2}} | ln
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r*2} | :2 / *1/2
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}*\ln{(\frac{8664,32}{8000})} = r = \frac{\ln{(1,08304)}}{2} = \frac{0,079804}{2} = 0,039902 \approx 0,04 = 4%}
Die umgestellte Formel lautet also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \frac{\ln{(\frac{K_t}{K_0})}}{t}}
