Zinsberechnung

Wie kann man Kapital, Zinssätze, Laufzeiten etc. berechnen?

(Alternative Zinsformeln).

Grundlegende Variablen

Starten wir mit dem Handwerkszeug:

K₀ = Anfangskapital

t = Laufzeit (in Jahren)

K_t = Endkapital (Kapital verzinst über einen Zeitraum von t Jahren).

r = Zinssatz (in Prozent)

Je nach Zinsberechnungsmethode können noch weitere Variablen hinzukommen, dazu aber später mehr.

Einfache Verzinsung

Soll heißen: Zinszahlungen einmal pro Jahr ohne Zinseszins.

Normalform

Grundlegende Berechnungsformel: $K_{t}=K_{0}+r*t*K_{0}$

Alternativ: $K_{t}=(1+r*t)*K_{0}$

Beispielaufgabe:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 6 Prozent und einer Laufzeit von dreieinhalb Jahren an?

$K_{3,5}=(1+5\%*3,5)*5000=(1+0,05*3,5)*5000=18375$

A: Auf 18.375 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Wenn man den Zinssatz berechnen soll.

Beispiel: Aus 3.000 Euro werden in 3 Jahren 4.150 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $4150=(1+r*3)*3000$

Jetzt heißt es nach r umstellen:

$4150=(1+r*3)*3000$ | :3000

${\frac {4150}{3000}}=(1+r*3)$ | -1

${\frac {4150}{3000}}-1=r*3$ | :3 / *1/3

${\frac {1}{3}}*({\frac {4150}{3000}}-1)=r=0,1278=12,78\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {1}{t}}*({\frac {K_{t}}{K_{0}}}-1)$

Alternativ funktioniert aber auch Folgendes:

$r={\frac {K_{t}-K_{0}}{K_{0}*t}}$

Beweis gefällig?:

$r={\frac {4150-3000}{3000*3}}={\frac {1150}{9000}}=0,127777=12,78\%$

Exponentielle Verzinsung

Auf Deutsch: Jährliche Verzinsung mit Zinseszins.

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+r)^{t}*K_{0}$

Beispiel:

Auf wieviel wachsen 5.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent und einer Laufzeit von eineinhalb Jahren an?

$K_{1,5}=(1+,05)^{1,5}*5000=5379,65$

A: Auf 5379,65 Euro.

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden in 3 Jahren 9.261,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $9261,32=(1+r)^{3}*8000$

Also wieder umstellen:

$9261,32=(1+r)^{3}*8000$ | :8000

${\frac {9261,32}{8000}}=(1+r)^{3}|{\sqrt[{3}]{}}$

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}=(1+r)$ | -1

${\sqrt[{3}]{\frac {9261,32}{8000}}}-1=r={\sqrt[{3}]{1,15774}}-1=0,05=5\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\sqrt[{t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-1$

Unterjährige Verzinsung

Exponentielle Verzinsung, nur mit mehreren Auszahlungen pro Jahr.

Hier kommt - wie schon angedroht - eine neue Variable ins Spiel:

m = Anzahl der Zinszahlungen pro Jahr (z. B. m=2 für halbjährlich, m=4 für vierteljährlich, m=12 für monatlich)

Normalform

Basisformel: $K_{t}=(1+{\frac {r}{m}})^{m*t}*K_{0}$

Beispiel:

10.000 Euro werden zu einem Zinssatz von 6 Prozent für 2 Jahre angelegt, wobei die Zinsen monatlich berechnet werden. Wie hoch ist das Endkapital?

$K_{2}=(1+{\frac {0,06}{12}})^{2*12}*10000=(1+0,005)^{24}*10000=1,12749*10000=11274,90$

A: 11274,90 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 5.000 Euro werden nach 3 Jahren bei vierteljährlicher Verzinsung 5.960,50 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

In die Formel eingesetzt: $5960,50=(1+{\frac {r}{4}})^{4*3}*5000$

Umstellung:

$5960,50=(1+{\frac {r}{4}})^{4*3}*5000$ | :5000

${\frac {5960,50}{5000}}=(1+{\frac {r}{4}})^{12}|{\sqrt[{12}]{}}$

${\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}=1+{\frac {r}{4}}$ | -1

${\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}-1={\frac {r}{4}}$ | *4

$4*({\sqrt[{12}]{\frac {5960,50}{5000}}}-1)=r=4*({\sqrt[{12}]{1,1921}}-1)\approx 4*(1,01468-1)=4*0,01468=0,05872=5,87\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r=m*({\sqrt[{m*t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-1)$

Alternativ funktioniert auch:

$r=m*{\sqrt[{m*t}]{\frac {K_{t}}{K_{0}}}}-m$

Stetige Verzinsung

Last but not least, die stetige Verzinsung: Hier werden fortlaufend (zu jedem Zeitpunkt) Zinsen berechnet und hinzuaddiert, weshalb das Ganze eher ein Modell als ein praktisches Konzept ist.

Keine neuen Variablen dieses Mal, e ist die gute alte Eulersche Zahl:)

Normalform

Basisformel: $K_{t}=K_{0}*e^{r*t}$

Beispiel:

10.000 Euro werden mit 5 Prozent für 3 Jahre stetig verzinst. Wie hoch ist das Endkapital?

$K_{3}=10000*e^{0,05*3}=10000*1,161834\approx 11618,34$

A: 11618,34 Euro

Umstellung nach Zinssatz

Beispiel: Aus 8.000 Euro werden nach 2 Jahren bei stetiger Verzinsung 8.664,32 Euro. Wie hoch ist der Zinssatz?

Noch eine Umstellung:

$8664,32=8000*e^{r*2}$ | :8000

${\frac {8664,32}{8000}}=e^{r*2}$ | ln

$\ln {({\frac {8664,32}{8000}})}=r*2$ | :2 / *1/2

${\frac {1}{2}}*\ln {({\frac {8664,32}{8000}})}=r={\frac {\ln {(1,08304)}}{2}}={\frac {0,079804}{2}}=0,039902\approx 0,04=4\%$

Die umgestellte Formel lautet also:

$r={\frac {\ln {({\frac {K_{t}}{K_{0}}})}}{t}}$