Statistische Kennzahlen

Erster Teil der dritten Vorlesung: Was für Kennzahlen gibt es?

Mittelwert / Durchschnitt

Der Mittelwert ist der Durchschnitt von allen vorliegenden Daten. Berechnet wird er, indem man alle vorliegenden Kennzahlen addiert und das Ergebnis anschließend durch die Anzahl der Kennzahlen teilt.

Dargestellt wird er mit einem Strich über der jeweiligen Variable: ${\overline {x}},{\overline {y}},etc.$

Beispiel:

Periode i	1	2	3	4	5	Summe
Rendite x_i	1,0 %	-2,5 %	3,5 %	-2,0 %	1,5 %	1,5 %

Alle Werte aus der Reihe x zusammengerechnet ergeben 1,5%. Bei 5 Werten heißt es jetzt das durch 5 zu teilen: ${\frac {1,5\%}{5}}=0,3\%$

Zusammenfassung:

Mittelwert = (Summe aller Werte) / Anzahl Werte

Darstellung im "Koordinatensystem"

Hat man 2 verschiedene Datensätze (Tabellenzeilen) vorliegen kann man diese grafisch darstellen:

Periode i	1	2	3	4	5	Summe
Rendite x_i	1,0%	-2,5%	3,5%	-2,0%	1,5%	1,5%
Rendite y_i	-1,0%	-3,0%	2,5%	0,0%	3,5%	2,0%

Mittelwert x: ${\overline {x}}=0,3\%$; Mittelwert y: ${\overline {y}}={\frac {2,0\%}{5}}=0,4\%$

Grafische Darstellung der Daten.

Nimmt man die Renditen/Kennzahlen jeweils als x- bzw. y-Koordinate kann man sie in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Der Mittelwert wird bei diesen grafischen Darstellungen nachher noch wichtig.

Das Quadrat in dem Bild (mit den Rechnungen) dient zur grafischen Darstellung des Abstandes zwischen den Punkten und dem Mittelwert

Empirische Varianz

Die (empirische) Varianz beschreibt den durchschnittlichen Abstand der Punkte/Werte in dem Koordinatensystem/Datensatz vom Mittelwert. Das Darstellungssymbol ist $\sigma ^{2}$.

Wichtig: Dadurch, dass das Ergebnis eine Quadratzahl ist werden auch die Einheiten der Ergebnisse (m, kg, %, €, etc.) als Quadrat angegeben, auch wenn es manchmal etwas affig aussieht: $\%^{2},kg^{2}$

Berechnet wird sie wie folgt:

$\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}$ (geht natürlich mit jeder Variable)

Soll heißen:

1. Alle vorliegenden Werte jeweils einzeln quadrieren
2. Die Ergebnisse zusammenzählen
3. Die Summe durch die Anzahl der Werte teilen

minus

den Mittelwert zum Quadrat.

Beispiel:

Periode i	1	2	3	4	5	Summe
Rendite x_i	1,0%	-2,5%	3,5%	-2,0%	1,5%	1,5%
Rendite y_i	-1,0%	-3,0%	2,5%	0,0%	3,5%	2,0%
x^2_i	1,0%^2	6,25%^2	12,25%^2	4,0%^2	2,25%^2	25,75%^2
y^2_i	1,0%^2	9,0%^2	6,25%^2	0,0%^2	12,25%^2	28,5%^2

Varianzen:

$\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}={\frac {25,75\%^{2}}{5}}-(0,3\%)^{2}=5,06\%^{2}$

$\sigma _{y}^{2}={\overline {y^{2}}}-{\overline {y}}^{2}={\frac {28,5\%^{2}}{5}}-(0,4\%)^{2}=5,54\%^{2}$

Empirische Standardabweichung

Ist die Varianz mit "normaler" Einheit. Dargestellt durch $\sigma$.

Berechnung:

Einfach die Wurzel aus der Varianz ziehen:)

$\sigma _{x}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}}}$

Beispiel:

$\sigma _{x}={\sqrt {\sigma _{x}^{2}}}={\sqrt {5,06\%^{2}}}=2,2494\%$

$\sigma _{y}={\sqrt {\sigma _{y}^{2}}}={\sqrt {5,54\%^{2}}}=2,3537\%$

Die Einheit am Ende nicht vergessen! Wir ziehen die Wurzel ja eigentlich nur deswegen:)