Zufallsvariablen

Was sind eigentlich Zufallsvariablen?

Allgemeine Definition

Grundlegende Variablen

Eine Variable, die jeden Wert aus einer vordefinierten Datenmenge annehmen kann. Zu jedem Wert gehört hierbei eine Wahrscheinlichkeit, mit welcher er angenommen wird.

Hierbei gibt es die folgenden Variablen:

X = Die Zufallsvariable an sich

P = Die Wahrscheinlichkeit, mit welcher die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt

Beispiel:

Bei einem normalen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Zahl zu Würfeln bekanntlich immer und überall gleich, nämlich 1/6.

Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln sähe demnach so aus:

$P(X=6)={\frac {1}{6}}$

Weiter im Text:

Erwartungswert

E(X) = Erwartungswert. Er entspricht ungefähr dem Mittelwert. D. h.: Welcher Wert würde (durchschnittlich) herauskommen, wenn wir sehr oft den Zufall entscheiden lassen.

Wird berechnet, indem jeder Wert mit der Wahrscheinlichkeit, das er auftritt multipliziert und das Ganze anschließend addiert wird.

Bezogen auf den Würfel wäre das also:

$E(X)=\mu _{x}={\frac {1}{6}}*1+{\frac {1}{6}}*2+{\frac {1}{6}}*3+{\frac {1}{6}}*4+{\frac {1}{6}}*5+{\frac {1}{6}}*6={\frac {21}{6}}=3,5$

Varianz + Standardabweichung

Es gibt auch eine Kennzahl um die Abweichung der tatsächlichen Werte von ihrem Erwartungswert auszudrücken bzw. zu berechnen, nämlich die bereits bekannte Varianz. Sogar die Formel ähnelt der bereits bekannten:

$V(X)=\sigma _{X}^{2}=E(X^{2})-E(X)^{2}$

Nehmen wir als Beispiel nochmal unseren Würfel:

Im ersten Schritt werden alle quadrierten Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und anschließend aufaddiert:

$E(X^{2})=\mu _{x}={\frac {1}{6}}*1^{2}+{\frac {1}{6}}*2^{2}+{\frac {1}{6}}*3^{2}+{\frac {1}{6}}*4^{2}+{\frac {1}{6}}*5^{2}+{\frac {1}{6}}*6^{2}={\frac {91}{6}}=15,166$

Von dem Ergebnis wird dann im zweiten und letzten Schritt der quadrierte Erwartungswert abgezogen:

$V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}={\frac {91}{6}}-({\frac {7}{2}})^{2}=2,917$

Wo es eine Varianz gibt, existiert natürlich auch eine Standardabweichung:

$\sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}$

$\sigma _{X}={\sqrt {2,917}}=1,708$