Intervalle: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| Zeile 9: | Zeile 9: | ||
[-5,8] = Alles von -5 bis 8. | [-5,8] = Alles von -5 bis 8. | ||
== '''Geschlossene Intervalle''' == | === '''<u>Geschlossene Intervalle</u>''' === | ||
Ein Intervall mit '''zwei eckigen Klammern''' (am Anfang und Ende) bezeichnet man als "'''geschlossen'''". Das bedeutet, das die im Intervall '''angegebenen Zahlen noch zum Intervall''' bzw. der Menge, die es beschreibt, '''dazugehören.''' D. h. die Zahlen sind "eingeschlossen". | Ein Intervall mit '''zwei eckigen Klammern''' (am Anfang und Ende) bezeichnet man als "'''geschlossen'''". Das bedeutet, das die im Intervall '''angegebenen Zahlen noch zum Intervall''' bzw. der Menge, die es beschreibt, '''dazugehören.''' D. h. die Zahlen sind "eingeschlossen". | ||
| Zeile 18: | Zeile 18: | ||
'''[-7,19]''' = Alle Zahlen von '''-7 bis 19''' | '''[-7,19]''' = Alle Zahlen von '''-7 bis 19''' | ||
== '''Offene Intervalle''' == | === '''<u>Offene Intervalle</u>''' === | ||
Offene Intervalle haben '''auf beiden Seiten eine normale runde Klammer.''' In ihnen sind die '''im Intervall angegebenen Zahlen <u>nicht</u> enthalten'''. Das bedeutet: | Offene Intervalle haben '''auf beiden Seiten eine normale runde Klammer.''' In ihnen sind die '''im Intervall angegebenen Zahlen <u>nicht</u> enthalten'''. Das bedeutet: | ||
| Zeile 32: | Zeile 32: | ||
''']5,9[ = (5,9)''' | ''']5,9[ = (5,9)''' | ||
== '''Halboffene Intervalle''' == | === '''<u>Halboffene Intervalle</u>''' === | ||
Eine '''Kombination aus offenen und geschlossenen Intervallen''' bezeichnet man als halboffen bzw. rechts- oder linksoffen, je nachdem, wo die runde Klammer steht. | Eine '''Kombination aus offenen und geschlossenen Intervallen''' bezeichnet man als halboffen bzw. rechts- oder linksoffen, je nachdem, wo die runde Klammer steht. | ||
| Zeile 43: | Zeile 43: | ||
Die Zahl, an deren Seite die eckige Klammer steht, ist immer im Intervall enthalten, die mit der runden Klammer hingegen nicht. | Die Zahl, an deren Seite die eckige Klammer steht, ist immer im Intervall enthalten, die mit der runden Klammer hingegen nicht. | ||
== '''Endliche/unendliche Intervalle''' == | === '''<u>Endliche/unendliche Intervalle</u>''' === | ||
Ein Intervall mit einem '''fest definierten Anfang und Ende''' nennt man '''endlich oder''' auch '''beschränkt'''. | Ein Intervall mit einem '''fest definierten Anfang und Ende''' nennt man '''endlich oder''' auch '''beschränkt'''. | ||
| Zeile 55: | Zeile 55: | ||
Ein Intervall, bei dem mindestens eine Zahl unendlich ist, bezeichnet man als unendlich oder unbeschränkt. | |||
Ein Intervall, bei dem '''mindestens eine Zahl unendlich''' ist, bezeichnet man als '''unendlich oder unbeschränkt.''' | |||
'''<u>Beispiele:</u>''' | '''<u>Beispiele:</u>''' | ||
| Zeile 64: | Zeile 65: | ||
(6,∞) = Alle Zahlen von 6,01 bis unendlich | (6,∞) = Alle Zahlen von 6,01 bis unendlich | ||
Hierbei ist '''wichtig:''' Da '''∞ und -∞ keine Zahlen''' sind sind sie per Definition '''niemals Teil eines Intervalls''' und haben auf ihrer Seite daher '''immer eine runde (offene) Klammer!''' | |||
'''<u>Sonderfall:</u>''' | |||
(-∞,∞) = Alle Zahlen von '''minus unendlich bis plus unendlich''' => '''Alle reellen Zahlen''' -> IR | |||
== '''Rechnen mit Intervallen''' == | |||
Version vom 17. September 2024, 20:25 Uhr
Intervalle sind Abschnitte ("von-da-bis-dort") auf einem Zahlenstrahl.
Dargestellt werden sie als mit Komma voneinander getrennte Zahlen innerhalb von normalen oder eckigen Klammern.
Beispiele:
[1,3] = Alles von 1 bis 3.
[-5,8] = Alles von -5 bis 8.
Geschlossene Intervalle
Ein Intervall mit zwei eckigen Klammern (am Anfang und Ende) bezeichnet man als "geschlossen". Das bedeutet, das die im Intervall angegebenen Zahlen noch zum Intervall bzw. der Menge, die es beschreibt, dazugehören. D. h. die Zahlen sind "eingeschlossen".
Beispiele:
[1,3] = Alle Zahlen von 1 bis 3
[-7,19] = Alle Zahlen von -7 bis 19
Offene Intervalle
Offene Intervalle haben auf beiden Seiten eine normale runde Klammer. In ihnen sind die im Intervall angegebenen Zahlen nicht enthalten. Das bedeutet:
(4,8) = Alle Zahlen von z. B. 4,00001 bis 7,999999
(-6,-1) = Alle Zahlen von -5,99999 bis -1,0000001
Wichtig ist: Die Zahl selbst gehört nicht zum Intervall, eine Annäherung an die Zahl (aus der passenden Richtung) aber schon.
Manchmal werden offene Intervalle auch mit eckigen Klammern nach außen statt mit runden Klammern geschrieben, also:
]5,9[ = (5,9)
Halboffene Intervalle
Eine Kombination aus offenen und geschlossenen Intervallen bezeichnet man als halboffen bzw. rechts- oder linksoffen, je nachdem, wo die runde Klammer steht.
Beispiele:
(4,9] = ]4,9] = linksoffenes Intervall = Alle Zahlen von 4,1 bis 9
[-6,17) = [-6,17[ = rechtsoffenes Intervall = Alle Zahlen von -6 bis 16,99
Die Zahl, an deren Seite die eckige Klammer steht, ist immer im Intervall enthalten, die mit der runden Klammer hingegen nicht.
Endliche/unendliche Intervalle
Ein Intervall mit einem fest definierten Anfang und Ende nennt man endlich oder auch beschränkt.
Beispiele:
[5,12] = Alle Zahlen von 5 bis 12
(6,9) = Alle Zahlen von 6,001 bis 8,999
[-8,14) = Alle Zahlen von -8 bis 13,999
Ein Intervall, bei dem mindestens eine Zahl unendlich ist, bezeichnet man als unendlich oder unbeschränkt.
Beispiele:
[5,∞) = Alle Zahlen von 5 bis unendlich
(-∞,17] = Alle Zahlen von minus unendlich bis 17
(6,∞) = Alle Zahlen von 6,01 bis unendlich
Hierbei ist wichtig: Da ∞ und -∞ keine Zahlen sind sind sie per Definition niemals Teil eines Intervalls und haben auf ihrer Seite daher immer eine runde (offene) Klammer!
Sonderfall:
(-∞,∞) = Alle Zahlen von minus unendlich bis plus unendlich => Alle reellen Zahlen -> IR
