Cobb-Douglas Funktionen

Die (für uns) wichtigsten Funktionen in Mikroökonomie. Dann mal los.

Grundlagen

Grundsätzlich sind Cobb-Douglas Funktionen immer gleich aufgebaut. Sie bestehen aus einer zu bestimmenden Größe (Nutzen oder Output/Menge - je nach Aufgabe), 2 verschiedenen Variablen mit jeweils einem Exponenten (die beiden Exponenten addiert ergeben immer 1) und ggf. noch einem "Präfix" für die erste Variable.

Das Ganze sieht dann ungefähr so aus:

$U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Oder so:

$X=0,75K^{0,6}*N^{0,4}$

Oder auch so:

$Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Und wie rechnet man jetzt damit?

Die Antwort ist wie so oft: Es kommt drauf an. Insbesondere auf die Aufgabenstellung und das Szenario. Eine Technik kommt aber ziemlich oft zum Einsatz, die partielle Ableitung.

Partielle Ableitung

Vereinfacht gesagt ist das eine Ableitung in einer Funktion mit mehreren verschiedenen Variablen, jedoch wird davon nur eine einzige abgeleitet. Die übrigen bleiben so wie sie sind.

Beispiel:

Funktion: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $U_{x1}'=0,5x_{1}^{-0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $U_{x2}'=x_{1}^{0,5}*0,5x_{2}^{-0,5}$

Ganz einfach, oder?

Noch ein Beispiel:

Funktion: $Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $Y_{v1}'=1,5v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $Y_{v2}'=3v_{1}^{0,5}*0,5v_{2}^{-0,5}$

So viel dazu. Widmen wir uns doch einfach mal den konkreten Anwendungsfällen.

Konsumententheorie

In der Konsumententheorie beschreiben Cobb-Douglas Funktionen in der Regel die Nutzenfunktion eines Haushalts. Heißt: Welchen Nutzen zieht der Haushalt aus dem gleichzeitigen Konsum von 2 verschiedenen Produkten?

Eine Funktion in der Konsumententheorie sieht beispielsweise so aus: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Wobei gilt:

U = Nutzen (diesen gilt es zu maximieren).

x1 = Produkt 1

x2 = Produkt 2

Zusätzlich werden diese Funktionen von ein paar anderen Variablen in der Aufgabenstellung ergänzt:

p1 = Preis von Produkt 1

p2 = Preis von Produkt 2

m = Einkommen (Summe, die der Haushalt maximal ausgeben kann, Ziel: Möglichst komplett einsetzen)