Cobb-Douglas Funktionen

Die (für uns) wichtigsten Funktionen in Mikroökonomie. Dann mal los.

Grundlagen

Grundsätzlich sind Cobb-Douglas Funktionen immer gleich aufgebaut. Sie bestehen aus einer zu bestimmenden Größe (Nutzen oder Output/Menge - je nach Aufgabe), 2 verschiedenen Variablen mit jeweils einem Exponenten (die beiden Exponenten addiert ergeben immer 1) und ggf. noch einem "Präfix" für die erste Variable.

Die Grundstruktur ähnelt dann in etwa diesem Aufbau:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle sonstwas = iwas_1^\alpha*iwas_2^\beta}

In der Praxis sieht das Ganze dann ungefähr so aus:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Oder so:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=0,75C^{0,6}*N^{0,4}}

Oder auch so:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=3v_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Und wie rechnet man jetzt damit?

Die Antwort ist wie so oft: Es kommt drauf an. Insbesondere auf die Aufgabenstellung und das Szenario. Eine Technik kommt aber ziemlich oft zum Einsatz, die partielle Ableitung.

Partielle Ableitung

Vereinfacht gesagt ist das eine Ableitung in einer Funktion mit mehreren verschiedenen Variablen, jedoch wird davon nur eine einzige abgeleitet. Die übrigen bleiben so wie sie sind.

Beispiel:

Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Ableitung nach x1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{x1}'=0,5x_1^{-0,5}*x_2^{0,5}}

Ableitung nach x2: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{x2}'=x_1^{0,5}*0,5x_2^{-0,5}}

Ganz einfach, oder?

Noch ein Beispiel:

Funktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=3v_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Ableitung nach x1: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{v1}'=1,5v_1^{-0,5}*v_2^{0,5}}

Ableitung nach x2: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_{v2}'=3v_1^{0,5}*0,5v_2^{-0,5}}

So viel dazu. Widmen wir uns doch einfach mal den konkreten Anwendungsfällen.

Konsumententheorie

In der Konsumententheorie beschreiben Cobb-Douglas Funktionen in der Regel die Nutzenfunktion eines Haushalts. Heißt: Welchen Nutzen zieht der Haushalt aus dem gleichzeitigen Konsum von 2 verschiedenen Produkten?

Eine Funktion in der Konsumententheorie sieht beispielsweise so aus: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}}

Wobei gilt:

U = Nutzen (diesen gilt es zu maximieren).

x1 = Produkt 1

x2 = Produkt 2

Zusätzlich werden diese Funktionen von ein paar anderen Variablen in der Aufgabenstellung ergänzt:

p1 = Preis von Produkt 1

p2 = Preis von Produkt 2

m = Einkommen (Summe, die der Haushalt maximal ausgeben kann, Ziel: Möglichst komplett einsetzen)

Je nachdem was nun berechnet werden soll kommt das alles in unterschiedlichem Maße und in unterschiedlichen Kombinationen zu Einsatz.

Optimale Güterkombination

Heißt: Wieviel von jedem Gut/Produkt sollte man kaufen, wenn man das Budget möglichst gut einsetzen will?

Bei Cobb-Douglas gibt es hierfür 2 Formeln, die man verwenden kann:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^* = \alpha*\frac{m}{p_1}}

und

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^* = (1-\alpha)*\frac{m}{p_2}} -> (1 - Alpha) ist der Exponent von x2

Hierbei gilt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^*} oder Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^*} = Optimale Konsummenge von Produkt 1 oder 2 (also das was wir suchen!)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} = Exponent von x1 aus der Cobb-Douglas Funktion (nicht vergessen: Beide Exponenten zusammen addiert ergeben immer 1)

Beispiel

Unsere Nutzenfunktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=x_1^{0,5}*x_2^{0,5}} (sehr kreativ, ich weiß)

Preis von Produkt 1: p1 = 1€

Preis von Produkt 2: p2 = 2€

Einkommen: m = 200€

Also, welche Güterkombination kauft der Haushalt, wenn man ihm rationales Verhalten unterstellt?

Nehmen wir unsere Formeln zu Hilfe:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^* = 0,5 * \frac{200}{1} = 100}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^*=0,5*\frac{200}{2} = 50}

Wir sehen: Der Haushalt sollte 100 Exemplare von Produkt 1 und 50 Exemplare von Produkt 2 kaufen.

Änderungen an Produktpreisen

Ist eigentlich das Gleiche wie eben, nur das wir die optimale Menge eines Produktes aufgrund dessen geändertem Preis nun nochmal berechnen müssen.

Nehmen wir doch nochmal unser Beispiel von eben, nur das sich der Preis von Produkt 1 nun verdoppelt.

Beispiel

Neue Preise:

p1 = 2€

p2 = 2€

Einkommen bleibt gleich mit m = 200€

Nochmal die Formeln:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1^* = 0,5 * \frac{200}{2} = 50}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2^*=0,5*\frac{200}{2} = 50}

Aufgrund des gestiegenen Preises kauft der Haushalt also nun weniger Exemplare von Produkt 1 (welche Überraschung).

(Gesamt-)Nutzen

Hier gilt es einfach die Cobb-Douglas Funktion unter Einbeziehung aller eben durchgeführten Schritte auszurechnen.

Beispiel

Nehmen wir die eben errechneten optimalen Konsummengen (hier mal vor der Preisänderung) und setzen sie in die Nutzenfunktion ein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=100^{0,5}*50^{0,5}}

Das gilt es jetzt auszurechnen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=100^{0,5}*50^{0,5} = \sqrt{100}*\sqrt{50}=\sqrt{5000}\approx70,71}

Und das ist der gesamte Nutzen, den der Haushalt aus dem optimalen Konsum der beiden Produkte zieht.

Einkommens- und Substitutionseffekt

Jetzt gilt es noch die beiden Effekte auszurechnen, ein Schaubild zum Ablesen fällt dank Canvas ja größtenteils weg. Trotzdem gibt es eine nicht allzu komplizierte Methode hierzu.

Vieeeelen Dank an Emely für diesen Lösungsweg!!! Ohne deine Hilfe würde ich vermutlich immer noch hieran knabbern:)!

Zuerst brauchen wir hierfür den Gesamtnutzen (siehe oben) und die optimalen Mengen der gekauften Produkte 1 und 2, jeweils vor und nach der Preisänderung.

Am Besten baut man sich dann zwecks Übersichtlichkeit eine kleine Tabelle:

	Produkt x1	Produkt x2
Mengen vor Preisanpassung	100	50
Gesamtnutzen	70,71	70,71
Mangen nach Preisanpassung	50	50

Jetzt gilt es noch die Effekte jeweils für Produkt 1 und 2 auszurechnen:

Substitutionseffekt:

Es gilt: Gesamtnutzen - Menge vor Preisanpassung

Also:

Substitutionseffekt Produkt x1: 70,71 - 100 = -29,29

Substitutionseffekt Produkt x2: 70,71 - 50 = 20,71

Einkommenseffekt:

Hier gilt: Menge nach Preisanpassung - Gesamtnutzen

Daraus folgt:

Einkommenseffekt Produkt x1: 50 - 70,71 = -20,71

Einkommenseffekt Produkt x2: 50 - 70,71 = -20,71

Produzententheorie

In der Produzententheorie dagegen drehen sich Cobb-Douglas Funktionen hauptsächlich um die Menge bzw. den Output x aus einem Produktionsprozess. Als Variablen fungieren hier Arbeitseinsatz N/v1 und Kapital C/v2.

Produktionsfunktion ausformulieren

Das klingt jetzt vielleicht etwas albern, aber: Ein Teil von diesbezüglichen Aufgaben kann darin bestehen gegebene Werte in ein Formel-Gerüst einzusetzen und dieses dann auszurechnen.

Machen wir doch wieder mal ein unglaublich kreatives Beispiel;):

Produktionsfunktion: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = av_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Und jetzt die Aufgabe: "Wie sieht die Produktionsfunktion aus, wenn der Kapitaleinsatz konstant ist mit v2 = 10 und das Niveau a = 3 ist?" Muss ich dazu noch etwas schreiben? Wir setzen das Ganze einfach in die Formel ein:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3*v_1^{0,5}*10^{0,5}=3v_1^{0,5}*\sqrt{10}} Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=3*v_1^{0,5}*3,2=9,6*v_1^{0,5}} Zu beachten ist hier eigentlich nur, dass a (hier 3) als Konstante in die Rechnung mit einbezogen werden muss.

Durchschnittsertrag und Grenzertrag

Okay, eins nach dem Anderen:

Der Durchschnittsertrag ist der Output pro "Einheit Arbeit" (falls das irgendeinen Sinn ergibt). Zur Berechnung einfach die eben errechnete Gleichung durch Arbeit (also v1) teilen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle DE=\frac{9,6*v_1^{0,5}}{v_1}=\frac{9,6}{v_1^{0,5}}}

Der Grenzertrag wiederum ist auch relativ einfach, wir müssen die Funktion einfach nur nach v1 ableiten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GE=x_{v1}'}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle GE=9,6*\frac{1}{2}*v_1^{-0,5}=4,8*v_1^{-0,5}=\frac{4,8}{v_1^{0,5}}}

Produktionselastizität in Bezug auf Arbeit

Bei den Elastizitäten (ich darf auf ihre Wiki-Seite verweisen?) handelt es sich ja bekannterweise um die "Steigung" von ökonomischen Funktionen. In diesem Fall wollen wir berechnen, wie sich der Output verändert, wenn man die Arbeit (nur die Arbeit) um 1% nach oben oder nach unten verändert.

Das funktioniert mit dem Kapital natürlich genauso.

Aber wie wird das berechnet? Die Antwort: Gar nicht, denn sie ist bereits vorhanden.

Die Produktionselastizität der Arbeit ist der Exponent der Arbeit v1. In unserem Beispiel also 0,5.

Produktionselastizität Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\alpha=0,5}

Skalenelastizität

Hier ist mal wieder der Name Programm: Die Skalenelastizität beschreibt wie sich der Output x verhält, wenn man alle Produktionsfaktoren (Arbeit und Kapital) skaliert, also gleichermaßen erhöht.

Berechnet wird sie indem beide Exponenten in der ursprünglichen Funktion addiert werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SE=\alpha+\beta=0,5+0,5=1}

Interpretation:

Je nach Ergebnis besagt die Skalenelastizität nun:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SE = 1} -> Konstante Skalenerträge (z.B. bei der Verdopplung von Arbeit und Kapital verdoppelt sich auch der Output).

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SE <1} -> Abnehmende Skalenerträge (der Output wird weniger stark ansteigen als Arbeit und Kapital).

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SE>1} -> Zunehmende Skalenerträge (der Output wird sich bspw. mehr als verdoppeln, wenn Arbeit und Kapital verdoppelt werden).

Funktionen und Faktoren

Neben der bereits erwähnten Produktionsfunktion kann es bei den Aufgaben zur Produktionstheorie aber auch noch eine weitere Funktion geben, nämlich die Kostenfunktion. Diese ist zum Glück etwas näher an der klassischen Mathematik.

Nehmen wir mal wieder ein äußerst fantasievolles Kostenfunktions-Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=2,5v_1+10v_2}

Und ich habe zufälligerweise auch keine Lust mehr auf unsere bisherige Cobb-Douglas Produktionsfunktion, also nehmen wir mal eine Neue:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=0,75v_1^{0,5}*v_2^{0,5}}

Falls in einer Aufgabe übrigens mal nach "Faktorpreisen" gefragt werden sollte: Das sind die Faktoren der Produktionsfunktion.

Also:

Faktorpreis Arbeit: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1=2,5}

Faktorpreis Kapital: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2=10}

Grenzproduktivität

Ganz automatisch schießt mir bei dem Präfix "Grenz-" was durch den Kopf. Keine Sorge, es ist nur das Wort "Ableitung".

So ist es auch hier: Soll man die "Grenzproduktivität für beide Produktionsfaktoren" ermitteln heißt das übersetzt, dass man die Produktionsfunktion je einmal nach v1 und v2 ableiten soll.

Also bitte:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1'=0,75*\frac{1}{2}*v_1^{-0,5}*v_2^{0,5}=0,375*v_1^{-0,5}*v_2^{0,5}=\frac{0,375*v_2^{0,5}}{v_1^{0,5}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_2'=0,75*\frac{1}{2}*v_1^{0,5}*v_2^{-0,5}=0,375*v_1^{0,5}*v_2^{-0,5}=\frac{0,375*v_1^{0,5}}{v_2^{0,5}}}

Die Grenzproduktivität ist also:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle MP_1=0,375*v_1^{-0,5}*v_2^{0,5}} bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{0,375*v_2^{0,5}}{v_1^{0,5}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle MP_2=0,375*v_1^{0,5}*v_2^{-0,5}} bzw. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{0,375*v_1^{0,5}}{v_2^{0,5}}}