Cobb-Douglas Funktionen

Die (für uns) wichtigsten Funktionen in Mikroökonomie. Dann mal los.

Grundlagen

Grundsätzlich sind Cobb-Douglas Funktionen immer gleich aufgebaut. Sie bestehen aus einer zu bestimmenden Größe (Nutzen oder Output/Menge - je nach Aufgabe), 2 verschiedenen Variablen mit jeweils einem Exponenten (die beiden Exponenten addiert ergeben immer 1) und ggf. noch einem "Präfix" für die erste Variable.

Die Grundstruktur ähnelt dann in etwa diesem Aufbau:

$sonstwas=iwas_{1}^{\alpha }*iwas_{2}^{\beta }$

In der Praxis sieht das Ganze dann ungefähr so aus:

$U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Oder so:

$X=0,75C^{0,6}*N^{0,4}$

Oder auch so:

$Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Und wie rechnet man jetzt damit?

Die Antwort ist wie so oft: Es kommt drauf an. Insbesondere auf die Aufgabenstellung und das Szenario. Eine Technik kommt aber ziemlich oft zum Einsatz, die partielle Ableitung.

Partielle Ableitung

Vereinfacht gesagt ist das eine Ableitung in einer Funktion mit mehreren verschiedenen Variablen, jedoch wird davon nur eine einzige abgeleitet. Die übrigen bleiben so wie sie sind.

Beispiel:

Funktion: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $U_{x1}'=0,5x_{1}^{-0,5}*x_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $U_{x2}'=x_{1}^{0,5}*0,5x_{2}^{-0,5}$

Ganz einfach, oder?

Noch ein Beispiel:

Funktion: $Y=3v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x1: $Y_{v1}'=1,5v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}$

Ableitung nach x2: $Y_{v2}'=3v_{1}^{0,5}*0,5v_{2}^{-0,5}$

So viel dazu. Widmen wir uns doch einfach mal den konkreten Anwendungsfällen.

Konsumententheorie

In der Konsumententheorie beschreiben Cobb-Douglas Funktionen in der Regel die Nutzenfunktion eines Haushalts. Heißt: Welchen Nutzen zieht der Haushalt aus dem gleichzeitigen Konsum von 2 verschiedenen Produkten?

Eine Funktion in der Konsumententheorie sieht beispielsweise so aus: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$

Wobei gilt:

U = Nutzen (diesen gilt es zu maximieren).

x1 = Produkt 1

x2 = Produkt 2

Zusätzlich werden diese Funktionen von ein paar anderen Variablen in der Aufgabenstellung ergänzt:

p1 = Preis von Produkt 1

p2 = Preis von Produkt 2

m = Einkommen (Summe, die der Haushalt maximal ausgeben kann, Ziel: Möglichst komplett einsetzen)

Je nachdem was nun berechnet werden soll kommt das alles in unterschiedlichem Maße und in unterschiedlichen Kombinationen zu Einsatz.

Optimale Güterkombination

Heißt: Wieviel von jedem Gut/Produkt sollte man kaufen, wenn man das Budget möglichst gut einsetzen will?

Bei Cobb-Douglas gibt es hierfür 2 Formeln, die man verwenden kann:

$x_{1}^{*}=\alpha *{\frac {m}{p_{1}}}$

und

$x_{2}^{*}=(1-\alpha )*{\frac {m}{p_{2}}}$ -> (1 - Alpha) ist der Exponent von x2

Hierbei gilt:

$x_{1}^{*}$ oder $x_{2}^{*}$ = Optimale Konsummenge von Produkt 1 oder 2 (also das was wir suchen!)

$\alpha$ = Exponent von x1 aus der Cobb-Douglas Funktion (nicht vergessen: Beide Exponenten zusammen addiert ergeben immer 1)

Beispiel

Unsere Nutzenfunktion: $U=x_{1}^{0,5}*x_{2}^{0,5}$ (sehr kreativ, ich weiß)

Preis von Produkt 1: p1 = 1€

Preis von Produkt 2: p2 = 2€

Einkommen: m = 200€

Also, welche Güterkombination kauft der Haushalt, wenn man ihm rationales Verhalten unterstellt?

Nehmen wir unsere Formeln zu Hilfe:

$x_{1}^{*}=0,5*{\frac {200}{1}}=100$

$x_{2}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

Wir sehen: Der Haushalt sollte 100 Exemplare von Produkt 1 und 50 Exemplare von Produkt 2 kaufen.

Änderungen an Produktpreisen

Ist eigentlich das Gleiche wie eben, nur das wir die optimale Menge eines Produktes aufgrund dessen geändertem Preis nun nochmal berechnen müssen.

Nehmen wir doch nochmal unser Beispiel von eben, nur das sich der Preis von Produkt 1 nun verdoppelt.

Beispiel

Neue Preise:

p1 = 2€

p2 = 2€

Einkommen bleibt gleich mit m = 200€

Nochmal die Formeln:

$x_{1}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

$x_{2}^{*}=0,5*{\frac {200}{2}}=50$

Aufgrund des gestiegenen Preises kauft der Haushalt also nun weniger Exemplare von Produkt 1 (welche Überraschung).

(Gesamt-)Nutzen

Hier gilt es einfach die Cobb-Douglas Funktion unter Einbeziehung aller eben durchgeführten Schritte auszurechnen.

Beispiel

Nehmen wir die eben errechneten optimalen Konsummengen (hier mal vor der Preisänderung) und setzen sie in die Nutzenfunktion ein:

$U=100^{0,5}*50^{0,5}$

Das gilt es jetzt auszurechnen:

$U=100^{0,5}*50^{0,5}={\sqrt {100}}*{\sqrt {50}}={\sqrt {5000}}\approx 70,71$

Und das ist der gesamte Nutzen, den der Haushalt aus dem optimalen Konsum der beiden Produkte zieht.

Einkommens- und Substitutionseffekt

Jetzt gilt es noch die beiden Effekte auszurechnen, ein Schaubild zum Ablesen fällt dank Canvas ja größtenteils weg. Trotzdem gibt es eine nicht allzu komplizierte Methode hierzu.

Vieeeelen Dank an Emely für diesen Lösungsweg!!! Ohne deine Hilfe würde ich vermutlich immer noch hieran knabbern:)!

Zuerst brauchen wir hierfür den Gesamtnutzen (siehe oben) und die optimalen Mengen der gekauften Produkte 1 und 2, jeweils vor und nach der Preisänderung.

Am Besten baut man sich dann zwecks Übersichtlichkeit eine kleine Tabelle:

	Produkt x1	Produkt x2
Mengen vor Preisanpassung	100	50
Gesamtnutzen	70,71	70,71
Mangen nach Preisanpassung	50	50

Jetzt gilt es noch die Effekte jeweils für Produkt 1 und 2 auszurechnen:

Substitutionseffekt:

Es gilt: Gesamtnutzen - Menge vor Preisanpassung

Also:

Substitutionseffekt Produkt x1: 70,71 - 100 = -29,29

Substitutionseffekt Produkt x2: 70,71 - 50 = 20,71

Einkommenseffekt:

Hier gilt: Menge nach Preisanpassung - Gesamtnutzen

Daraus folgt:

Einkommenseffekt Produkt x1: 50 - 70,71 = -20,71

Einkommenseffekt Produkt x2: 50 - 70,71 = -20,71

Produzententheorie

In der Produzententheorie dagegen drehen sich Cobb-Douglas Funktionen hauptsächlich um die Menge bzw. den Output x aus einem Produktionsprozess. Als Variablen fungieren hier Arbeitseinsatz N/v1 und Kapital C/v2.

Produktionsfunktion ausformulieren

Das klingt jetzt vielleicht etwas albern, aber: Ein Teil von diesbezüglichen Aufgaben kann darin bestehen gegebene Werte in ein Formel-Gerüst einzusetzen und dieses dann auszurechnen.

Machen wir doch wieder mal ein unglaublich kreatives Beispiel;):

Produktionsfunktion: $x=av_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Und jetzt die Aufgabe: "Wie sieht die Produktionsfunktion aus, wenn der Kapitaleinsatz konstant ist mit v2 = 10 und das Niveau a = 3 ist?" Muss ich dazu noch etwas schreiben? Wir setzen das Ganze einfach in die Formel ein:

$x=3*v_{1}^{0,5}*10^{0,5}=3v_{1}^{0,5}*{\sqrt {10}}$ $x=3*v_{1}^{0,5}*3,2=9,6*v_{1}^{0,5}$ Zu beachten ist hier eigentlich nur, dass a (hier 3) als Konstante in die Rechnung mit einbezogen werden muss.

Durchschnittsertrag und Grenzertrag

Okay, eins nach dem Anderen:

Der Durchschnittsertrag ist der Output pro "Einheit Arbeit" (falls das irgendeinen Sinn ergibt). Zur Berechnung einfach die eben errechnete Gleichung durch Arbeit (also v1) teilen:

$DE={\frac {9,6*v_{1}^{0,5}}{v_{1}}}={\frac {9,6}{v_{1}^{0,5}}}$

Der Grenzertrag wiederum ist auch relativ einfach, wir müssen die Funktion einfach nur nach v1 ableiten:

$GE=x_{v1}'$

$GE=9,6*{\frac {1}{2}}*v_{1}^{-0,5}=4,8*v_{1}^{-0,5}={\frac {4,8}{v_{1}^{0,5}}}$

Produktionselastizität in Bezug auf Arbeit

Bei den Elastizitäten (ich darf auf ihre Wiki-Seite verweisen?) handelt es sich ja bekannterweise um die "Steigung" von ökonomischen Funktionen. In diesem Fall wollen wir berechnen, wie sich der Output verändert, wenn man die Arbeit (nur die Arbeit) um 1% nach oben oder nach unten verändert.

Das funktioniert mit dem Kapital natürlich genauso.

Aber wie wird das berechnet? Die Antwort: Gar nicht, denn sie ist bereits vorhanden.

Die Produktionselastizität der Arbeit ist der Exponent der Arbeit v1. In unserem Beispiel also 0,5.

Produktionselastizität $=\alpha =0,5$

Skalenelastizität

Hier ist mal wieder der Name Programm: Die Skalenelastizität beschreibt wie sich der Output x verhält, wenn man alle Produktionsfaktoren (Arbeit und Kapital) skaliert, also gleichermaßen erhöht.

Berechnet wird sie indem beide Exponenten in der ursprünglichen Funktion addiert werden:

$SE=\alpha +\beta =0,5+0,5=1$

Interpretation:

Je nach Ergebnis besagt die Skalenelastizität nun:

$SE=1$ -> Konstante Skalenerträge (z.B. bei der Verdopplung von Arbeit und Kapital verdoppelt sich auch der Output).

$SE<1$ -> Abnehmende Skalenerträge (der Output wird weniger stark ansteigen als Arbeit und Kapital).

$SE>1$ -> Zunehmende Skalenerträge (der Output wird sich bspw. mehr als verdoppeln, wenn Arbeit und Kapital verdoppelt werden).

Funktionen und Faktoren

Neben der bereits erwähnten Produktionsfunktion kann es bei den Aufgaben zur Produktionstheorie aber auch noch eine weitere Funktion geben, nämlich die Kostenfunktion. Diese ist zum Glück etwas näher an der klassischen Mathematik.

Nehmen wir mal wieder ein äußerst fantasievolles Kostenfunktions-Beispiel:

$K=2,5v_{1}+10v_{2}$

Und ich habe zufälligerweise auch keine Lust mehr auf unsere bisherige Cobb-Douglas Produktionsfunktion, also nehmen wir mal eine Neue:

$Y=0,75v_{1}^{0,5}*v_{2}^{0,5}$

Falls in einer Aufgabe übrigens mal nach "Faktorpreisen" gefragt werden sollte: Das sind die Faktoren der Produktionsfunktion.

Also:

Faktorpreis Arbeit: $r_{1}=2,5$

Faktorpreis Kapital: $r_{2}=10$

Grenzproduktivität

Ganz automatisch schießt mir bei dem Präfix "Grenz-" was durch den Kopf. Keine Sorge, es ist nur das Wort "Ableitung".

So ist es auch hier: Soll man die "Grenzproduktivität für beide Produktionsfaktoren" ermitteln heißt das übersetzt, dass man die Produktionsfunktion je einmal nach v1 und v2 ableiten soll.

Also bitte:

$v_{1}'=0,75*{\frac {1}{2}}*v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}=0,375*v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}={\frac {0,375*v_{2}^{0,5}}{v_{1}^{0,5}}}$

$v_{2}'=0,75*{\frac {1}{2}}*v_{1}^{0,5}*v_{2}^{-0,5}=0,375*v_{1}^{0,5}*v_{2}^{-0,5}={\frac {0,375*v_{1}^{0,5}}{v_{2}^{0,5}}}$

Die Grenzproduktivität ist also:

$MP_{1}=0,375*v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}$ bzw. ${\frac {0,375*v_{2}^{0,5}}{v_{1}^{0,5}}}$

$MP_{2}=0,375*v_{1}^{0,5}*v_{2}^{-0,5}$ bzw. ${\frac {0,375*v_{1}^{0,5}}{v_{2}^{0,5}}}$

Faktoreinsätze

Jetzt wird es etwas komplizierter. Geht es um die Bestimmung der Faktoreinsätze gilt zunächst einmal die folgende Regel:

${\frac {MP_{1}}{MP_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}$

Wenn wir unsere bisherigen Ergebnisse (siehe oben) da jetzt einfügen:

${\frac {0,375*v_{1}^{-0,5}*v_{2}^{0,5}}{0,375*v_{1}^{0,5}*v_{2}^{-0,5}}}={\frac {2,5}{10}}$

(in der Kürze liegt die Würze):

${\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {1}{4}}$

Daraus folgt:

$v_{2}={\frac {1}{4}}v_{1}$ und $v_{1}=4v_{2}$

Dieses war der erste Streich. Und der Zweite folgt sogleich: Wir setzen eins der Ergebnisse in die Kostenfunktion ein.

Meistens gibt es in solchen Aufgaben aber noch eine Kostenobergrenze, die nicht überschritten werden darf. Legen wir sie hier mal als $m=720$ fest.

Diese Kostenobergrenze setzen wir mit der Kostenfunktion einfach gleich:

$2,5*(4v_{2})+10v_{2}=720$

Hier bitte die Punkt vor Strich-Rechnung nicht vergessen:)

$10v_{2}+10v_{2}=720$

$20v_{2}=720$

$v_{2}^{*}=36$

Das Ergebnis jetzt noch in unsere v1-Formel oben einsetzen und vóila:

$v_{1}^{*}=4*(36)=144$

Das sind die Faktoreinsätze. Die werden leider in den nächsten möglichen Aufgaben noch wichtig.

Optimale Outputmenge

Jetzt wird es etwas einfacher:D. Zur Bestimmung der optimalen Outputmenge setzen wir die eben bestimmten Faktoren in die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ein und rechnen das Ganze dann aus:

$Y=0,75*144^{0,5}*36^{0,5}=0,75*{\sqrt {144}}*{\sqrt {36}}=0,75*12*6=0,75*72=54$

Homogenitätsgrad

Ist einfach nur ein anderes Wort für die Skalenelastizität (siehe oben). Wird auch genau so berechnet.

Also einfach die beiden Exponenten der Variablen der Cobb Douglas-Funktion addieren und fertig.

Ui, hier muss ich ja gar nicht mal so viel schreiben:).

Optimale Outputmenge bei veränderten Produktionsfaktoren

Hier ändern sich die eben schon berechneten Faktoreinsätze. Wenn sie bspw. verdreifacht werden ergibt sich daraus:

$v_{1}^{*}=3*144=432$ und $v_{2}^{*}=3*36=108$

Wenn beide Faktoren gleichermaßen verändert werden ändert sich logischerweise auch die optimale Outputmenge in gleicher Weise.

$Y^{*}=3*54=162$

Ansonsten muss man das Ganze halt nochmal in die Cobb Douglas-Funktion einsetzen und ausrechnen.

Meistens werden bei solchen Aufgaben die Kostenrestriktionen entweder mit angepasst oder ganz aufgehoben. Macht ja irgendwie auch Sinn.

Faktoreinsatzänderung bei veränderten Preisen

Auf Deutsch: Was passiert, wenn sich ein Faktorpreis (r1 oder r2) verändert?

Nehmen wir mal an, dass sich unser r1 von 2,5 auf 5 verdoppelt. Jetzt müssen wir leider die Formel der Faktoreinsätze neu berechnen.

In unserem Fall - ich nehme die Kürzung auf der linken Seite hier schon mal vorweg - ergibt sich dann also:

${\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {5}{10}}={\frac {1}{2}}$

Wodurch sich unsere Faktoreinsätze folgendermaßen verändern:

$v_{2}={\frac {1}{2}}v_{1}$ und $v_{1}=2v_{2}$

Das Ganze eingesetzt in die Kostenfunktion ergibt dann:

$5*(2v_{2})+10v_{2}=720$

Achtung! Der eine Faktor verdoppelt sich auch in der Kostenfunktion:P

$10v_{2}+10v_{2}=720$

$v_{2}^{*}=36$ und $v_{1}^{*}=2*(36)=72$