Duopole

Monopole und Polypole haben wir also, wie steht es denn um das Duopol?

Aufgabe 4.3

"Zwei Anbieter (1 und 2), die nach Gewinnmaximierung streben, produzieren ein homogenes Gut x mit der jeweiligen Kostenfunktion

• K1= 5x1

• K2= 0,5x2^2

Beide Unternehmen gehen bei der Festlegung der Angebotsmenge von folgender PAF für den gesamten Markt aus:

• p = 100 – 0,5x mit x = x1 + x2

Ermitteln Sie rechnerisch, welche gewinnmaximalen Mengen die beiden Unternehmen jeweils anbieten, wie hoch der Marktpreis ist und wie hoch ihre Gewinne sind, wenn

a) jeder der beiden Anbieter davon ausgeht, dass seine eigene Mengendisposition die Menge des Konkurrenten beeinflusst.

b) Anbieter 1 den Markt dominiert, die Angebotsmenge und davon ausgeht, dass Anbieter B seine angebotene Menge entsprechend anpasst."

Also, wie üblich bei der Gewinnermittlung gilt: Grenzerlöse = Grenzkosten

Da wir hier 2 Anbieter mit unterschiedlichen Kostenfunktionen haben müssen wir das Ganze wohl jeweils zwei mal rechnen. Na dann.

Teil a

Anbieter 1

$K_{1}=5x_{1}$

$K'_{1}=5$

Bestimmen wir mal die Erlösfunktion. Hier ist wichtig: Da die beiden Anbieter unterschiedliche Mengen produzieren (jeweils x1 und x2) multiplizieren wir hierfür mit der jeweils hergestellten Menge - hier also mit x1.

$E_{1}=p(x)*x_{1}=(100-0,5(x_{1}+x_{2}))*x_{1}=100x_{1}-0,5x_{1}^{2}-0,5x_{1}x_{2}$ (Die Klammern von innen nach außen ausmultiplizieren).

Wichtig: Da wir hier nur von Anbieter 1 reden müssen wir partiell nach x1 ableiten!

$E'_{1}=100-x_{1}-0,5x_{2}$

Jetzt können wir auch gleichsetzen:

$100-x_{1}-0,5x_{2}=5$

$x_{1}=95-0,5x_{2}$ -> Reaktionsfunktion!

Soviel dazu. Machen wir jetzt doch erst mal bei Anbieter 2 weiter.

Anbieter 2

Gleiches Spiel wie eben, nur jetzt mit x2:

$K_{2}=0,5x_{2}^{2}$

$K'_{2}=x_{2}$

$E_{2}=p(x)*x_{2}=(100-0,5(x_{1}+x_{2}))*x_{2}=100x_{2}-0,5x_{2}^{2}-0,5x_{1}x_{2}$

$E'_{2}=100-x_{2}-0,5x_{1}$

$100-x_{2}-0,5x_{1}=x_{2}$

$x_{2}=50-0,25x_{1}$ -> Reaktionsfunktion.

Jetzt, da wir beide x-Werte bestimmt haben, können wir uns an die Bestimmung der Mengen machen. Setzen wir doch einfach mal die eine x-Reaktionsfunktion in die Andere ein.

Restliche Aufgabe

$x_{2}=50-0,25*(95-0,5x_{2})$

$x_{2}=50-23,75+0,125x_{2}$

$0,875x_{2}=26,25$

$x_{2}=30$

Das jetzt in die andere Formel eingesetzt:

$x_{1}=95-0,5*30$

$x_{1}=80$

Das wären die Mengen, jetzt noch den Preis:

$p=100-0,5(80+30)=45$

Und die Gewinne:

$G_{1}=80*45-5*80=3200$

$G_{2}=30*45-0,5*30^{2}=900$

Nicht vergessen: Erlös = Preis * Menge

Teil b

Jetzt dominiert Anbieter 1 den Markt und Anbieter 2 reagiert auf dessen Angebot. In so einem Fall bestimmt man die Erlösfunktion von Anbieter 1 neu, nur dass man direkt zu Anfang für x2 die Reaktionsfunktion einsetzt!

$E_{1}=p(x)*x_{1}=(100-0,5(x_{1}+50-0,25x_{1}))*x_{1}$

$E_{1}=(100-0,5x_{1}-25+0,125x_{1})*x_{1}$

$E_{1}=75x_{1}-0,5x_{1}^{2}+0,125x_{1}^{2}$

$E_{1}=75x_{1}-0,375x_{1}^{2}$

Einmal ableiten bitte:

$E'_{1}=75-0,75x_{1}$

$K'_{1}=5$

$75-0,75x_{1}=5$

$x_{1}=93,33$

Das setzen wir jetzt noch in die Reaktionsfunktion von x2 ein:

$x_{2}=50-0,25*93,33=26,67$

Und schon haben wir die neuen Mengen. Der Rest sollte ja eigentlich klar sein, oder?

$p=100-0,5(93,33+26,67)=40$

$G_{1}=93,33*40-5*93,33=3266,67$

$G_{2}=26,66*40-0,5*26,67^{2}=711,11$