Binomische Formeln: Unterschied zwischen den Versionen
Die Seite wurde neu angelegt: „Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...). == '''Übersicht Formeln''' == '''Erste binomische Formel:''' <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> '''Zweite binomische Formel:''' <math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math> '''Dritte binomische Formel:''' <math>(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2</math> == '''Beispiele''' == === '''Erste binomische Formel''' ===“ |
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'''Dritte binomische Formel:''' <math>(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2</math> | '''Dritte binomische Formel:''' <math>(a+b)*(a-b) = a^2 - b^2</math> | ||
== '''Beispiele''' == | == '''Einfache Beispiele''' == | ||
=== '''Erste binomische Formel''' === | === '''<u>Erste binomische Formel</u>''' === | ||
===== '''Erstes Beispiel:''' ===== | |||
Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion): | |||
<math>(3x+4)^2</math> Hier wird also die erste binomische Formel angewandt. | |||
Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: <math>a x^2 + b x + c</math> | |||
Lösen wir das Ganze also: | |||
<math>(3x+4)^2 = (3x)^2 + 2*3x*4 + 4^2</math> | |||
<math>= 9x^2 + 6x*4 + 16</math> | |||
<math>= 9x^2 + 24x + 16</math> | |||
Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt. | |||
===== '''Zweites Beispiel:''' ===== | |||
Gegeben ist <math>(\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2</math> -> Vermutetes Aussehen: <math>ax^2 + bxy + cy^2</math> | |||
Auflösung: | |||
<math>(\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2 = (\frac{1}{2} x)^2 + 2* \frac{1}{2} x* \frac{3}{4} y + (\frac{3}{4} y)^2</math> --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> x * 3/4 y | |||
<math>= (\frac{1}{2})^2*x^2 + \frac{3}{4}x y + (\frac{3}{4})*y^2</math> --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden! | |||
<math>= \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} xy + \frac{9}{16} y^2</math> | |||
Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:) | |||
Zweite binomische Formel | |||
Version vom 20. September 2024, 22:43 Uhr
Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).
Übersicht Formeln
Erste binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}
Zweite binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}
Dritte binomische Formel: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a+b)*(a-b) = a^2 - b^2}
Einfache Beispiele
Erste binomische Formel
Erstes Beispiel:
Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2} Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.
Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a x^2 + b x + c}
Lösen wir das Ganze also:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3x+4)^2 = (3x)^2 + 2*3x*4 + 4^2}
Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.
Zweites Beispiel:
Gegeben ist -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bxy + cy^2}
Auflösung:
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2 = (\frac{1}{2} x)^2 + 2* \frac{1}{2} x* \frac{3}{4} y + (\frac{3}{4} y)^2} --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> x * 3/4 y
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2*x^2 + \frac{3}{4}x y + (\frac{3}{4})*y^2} --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} xy + \frac{9}{16} y^2}
Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)
Zweite binomische Formel
