Wurzeln

Eine Wiederholung der Wurzeln:

Wurzelgesetze

Wurzeln können nur von Zahlen größer oder gleich null gezogen werden

Die Wurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert.

ACHTUNG bei quadratischen Gleichungen

Ein Beispiel:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 = 16 |\surd}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \sqrt{16} = 4}

ABER Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -4^2} ergibt auch 16!(<- Das ist keine Fakultät:D) Die quadratische Gleichung - beziehungsweise alle Gleichungen mit gerader Hochzahl - hat also, sobald eine Wurzel im Spiel ist, 2 Lösungen (eben Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = 4} und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2 = -4} ).

Teilweises Wurzelziehen

Bezeichnet das "Zerlegen" von Zahlen innerhalb von Wurzeln, um die Wurzel (teilweise) lösen zu können:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9*2} = \sqrt{9} * \sqrt{2} = 3 * \sqrt{2}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{500}=\sqrt{5*100}=10*\sqrt{5}}

Das Ganze mit Brüchen:

${\sqrt {\frac {8}{9}}}={\sqrt {\frac {2*4}{9}}}$ -> Das Ziel ist im Zähler und im Nenner jeweils eine Quadratzahl zu haben (hier 4 und 9). Jetzt können wir aus denen die Wurzel ziehen und sie nach außen schreiben (bitte an die richtige Stelle im Bruch!). Da wir aus der 4 und der 9 schon die Wurzeln gezogen haben, werden diese jeweils durch 1 ersetzt, d.h. hier bleibt nur 2 in der Wurzel übrig:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{2}{3} * \sqrt{2}}

Wie wärs mal mit einer schwierigeren Zahl?:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{243}}

Zum Zerlegen erst mal fragen: Ist die Zahl durch 2 teilbar? Nein. Ist sie dann vielleicht durch 3 teilbar (eine Zahl ist durch 3 Teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist)?

2+4+3 = 9 -> Ja

Also: 243:3 = 240:3 + 3:3 = 80 +1 = 81

--> = Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{3*81}}

81 ist passenderweise eine Quadratzahl, wir können also die Wurzel ziehen und sie "ausklammern":

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =9*\sqrt{3}}

Umgekehrt funktioniert das Ganze genauso: Man kann Zahlen außerhalb von Wurzeln quadrieren und sie anschließend mit dem Wurzelzeichen versehen, um sie in die Wurzel hineinzubekommen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 5 * \sqrt{3}=\sqrt{25}*\sqrt{3} = \sqrt{75}}

Beispielaufgaben

Erste Aufgabe

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\frac{75}{42}}}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{\frac{3*25}{2*21}} = \sqrt{\frac{3*25}{2*3*7}}} -> 3 kann gekürzt werden, 25 ist ein Quadratzahl

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{5}{1} * \sqrt{\frac{1}{14}}}

Nachschlagewerke

• Wurzeln - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=5lGpyhWD8sw
• Teilweises Wurzelziehen - The Simple Club: https://www.youtube.com/watch?v=tRqteBSL5cs
• Wurzelterme vereinfachen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=bcf_m4q1ub0
• Schriftliches Wurzelziehen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=RQlnMPpLQFk
• Teilweises Wurzelziehen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=t29WEfzbptE
• Teilweises Wurzelziehen mit Brüchen - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=s3-cqGfNQjY
• Klammern mit Wurzeln, Distributivgesetz - MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=U9PYdp-QJuA