Binomische Formeln

Aus Rainmaker Wiki
Version vom 20. Februar 2026, 14:08 Uhr von Superuser (Diskussion | Beiträge) (→‎Übersicht Formeln)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)

Kurzer Recap der binomischen Formeln (zum Glück müssen wir die nicht herleiten oder gar beweisen...).

Übersicht Formeln

Erste binomische Formel:

Zweite binomische Formel:

Dritte binomische Formel:

Einfache Beispiele

Erste binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist folgender Term (egal ob alleinstehend oder als Teil einer Funktion):

Hier wird also die erste binomische Formel angewandt.

Anhand der Term-Struktur kann man schon ablesen, dass das Ergebnis ungefähr so aussehen wird:

Lösen wir das Ganze also:

Wie man sieht hat sich die anfänglich vermutete Struktur bestätigt.

Zweites Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ax^2 + bxy + cy^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4} y)^2 = (\frac{1}{2} x)^2 + 2* \frac{1}{2} x* \frac{3}{4} y + (\frac{3}{4} y)^2} --> In der Mitte kann die 2 mit der 2 aus 1/2 gekürzt werden! --> 1 x * 3/4 y

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2*x^2 + \frac{3}{4}x y + (\frac{3}{4})^2 *y^2} --> Bruchrechenregeln nicht vergessen! --> Zähler und Nenner müssen potenziert werden!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} x^2 + \frac{3}{4} xy + \frac{9}{16} y^2}

Und wieder hat sich die vermutete Struktur bewahrheitet:)

Zweite binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{4} a - \frac{1}{6} b )^2} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle xa^2 - yab + zb^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{4} a - \frac{1}{6} b )^2 = (\frac{1}{4} a)^2 - 2* \frac{1}{4} a * \frac{1}{6} b + (\frac{1}{6} b)^2 } --> In der Mitte kann die 2 mit der 4 aus 1/4 gekürzt werden! --> 1 * 1/2 a * 1/6 b

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{4})^2* a^2 - \frac{1}{2}a * \frac{1}{6} b + (\frac{1}{6})^2 * b^2} --> Bruchrechenregeln...

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{16} a^2 - \frac{1}{12} xy + \frac{1}{36}b^2}

Dritte binomische Formel

Erstes Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{2} s - \frac{3}{4} t )*( \frac{1}{2} s + \frac{4}{4} t)} -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle as^2 - bt^2}

Auflösung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( \frac{1}{2} s - \frac{3}{4} t )*( \frac{1}{2} s + \frac{4}{4} t)}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2}s)^2 -(\frac{3}{4}t)^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = (\frac{1}{2})^2 s - (\frac{3}{4})^2 t}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \frac{1}{4} s^2 - \frac{9}{16}t^2}

Binomische Formeln mit negativen Zahlen

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x -2)^2} -> Zweite binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: ax^2 - bx + c

Auflösung:

Erste Vorgehensweise:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x-2)^2 = (-3x)^2 + 2*(-3x)*2 + 2^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 -(-6)x*2+ 4} --> Vorzeichen beachten! --> Minus mal Minus = Plus!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9x^2 + 12x +4}

Zweite Vorgehensweise:

Erster Schritt, um das Minus vor dem 3x wegzubekommen: (-1) ausklammern! (können wir hier machen weil wir sowohl -3x als auch -2 haben) (Potenz nicht vergessen!)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-3x - 2)^2 = ((-1)*(3x+2))^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 1 *(3x + 2)^2}

Der Rest funktioniert nach dem bewährten Verfahren, nur ab jetzt mit der ersten binomischen Formel (das Minus in der Mitte haben wir ja ausgeklammert:) ) .

Binomische Formeln mit Wurzeln

Erstes Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3p*\sqrt{x} -4x*\sqrt{p})^2} -> Zweite binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: ap^2x^2 - bpx + cx^2p^2

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3p*\sqrt{x} -4x*\sqrt{p})^2 = (3p*\sqrt{x})^2 - 2 * 3p \sqrt{x} * 4x \sqrt{p} + (4x*\sqrt{p})^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 9p^2x - 24*p*x*\sqrt{x}*\sqrt{p} + 16x^2p}

Die 2er-Potenz neutralisiert die Wurzeln!

Zweites Beispiel:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2\sqrt{x}-5x\sqrt{y} )*(2\sqrt{x}+5x\sqrt{y})} -> Dritte binomische Formel -> Vermutetes Aussehen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle as^2 - bt^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2\sqrt{x}-5x\sqrt{y})*(2\sqrt{x}+5x\sqrt{y}) = (2\sqrt{x})^2 - (5x\sqrt{y})^2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 4x -25x^2y}

Terme vereinfachen

Schalten wir mal einen Gang hoch und wagen uns an eine komplexere Aufgabe:

Gegeben ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\sqrt{\sqrt{2}-1} +\sqrt{\sqrt{2}+1})^2} -> Erste binomische Formel -> Keine Variablen, also: a^2 + 2ab + b^2

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\sqrt{\sqrt{2}-1} + \sqrt{\sqrt{2}+1})^2 = \sqrt{2} - 1 + 2 * \sqrt{\sqrt{2}-1} * \sqrt{\sqrt{2}+1} + \sqrt{2} + 1} --> Zusammenfassung von a^2 und b^2 --> Durch das ^2 verschwinden die übergeordneten Wurzeln, die +1 und -1 neutralisiert sich gegenseitig und die Wurzeln kann man als *2 zusammenfassen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2 * \sqrt{2} + 2 * \sqrt{\sqrt{2}-1} *\sqrt{\sqrt{2}+1} } --> Blick auf (2)ab --> den Teil kann man ausmultiplizieren (und damit schöner gestalten):

Ausmultiplikation:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\sqrt{2}-1} * \sqrt{\sqrt{2}+1}= \sqrt{(\sqrt{2}-1)*(\sqrt{2}+1)} } --> Wurzelgesetz: Eine Multiplikation kann man unter eine gemeinsame Wurzel schreiben! --> Struktur: Dritte binomische Formel!

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\sqrt{2-1} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \sqrt{1} }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 1 }

Das jetzt in unsere eben pausierte Rechnung von etwas weiter oben eingesetzt ergibt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2 * \sqrt{2} + 2 *1 }

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = 2 * \sqrt{2} +2 }

Das sollte jetzt vereinfacht genug sein:)

Nachschlagewerke

Abgerufen von „https://wiki.felixbehrmann.de/index.php?title=Binomische_Formeln&oldid=841“