Umkehrfunktionen

Was sind eigentlich Umkehrfunktionen?

Wichtig zu Anfang: Eine Umkehrfunktion existiert nur dann, wenn die Funktion bijektiv ist!

Durchführung

Wie geht man vor?

Zuerst gilt Folgendes: Wir setzen die gegebene Funktion "= y".

Wenn wir also folgende Funktion haben:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = (x+2)^2}

lautet die Gleichung zu Beginn unserer Rechnung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2}

Jetzt lösen wir - wie gehabt - nach x auf:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y = (x+2)^2 | \sqrt()}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt(y) = x + 2 |-2}

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{y}-2=x}

Sobald wir das x "isoliert" haben gilt es einen sogenannten Variablentausch durchzuführen (dann können wir die Umkehrfunktion in das gleiche Schaubild wie die Originalfunktion zeichnen).

In der Praxis tauschen wir dabei die Position aller y mit x aus und umgekehrt. Dies geschieht unter der vollendeten Nicht-Berücksichtigung von Vorzeichen, Faktoren, etc.:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{x}-2 =y}

Damit haben wir unsere Umkehrfunktion:D

Erwähnenswert ist vielleicht noch:

Der Definitionsbereich D der originalen Funktion ist jetzt der Wertebereich W der Umkehrfunktion und umgekehrt.

Nachschlagewerke

• Umkehrfunktionen bestimmen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=X8QDtWIWu6Q
• Umkehrfunktionen Voraussetzungen und Berechnung - MathePeter: https://www.youtube.com/watch?v=KiIcbIrmjWg
• Voraussetzungen für Umkehrfunktionen - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=tUUHFqmENvg
• Umkehrfunktionen: Achtung bei x quadrat - Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AszdBZugcdo